Образование на современном этапе развития педагогики и школьной практики характеризуется усилением внимания к ученику, к развитию его индивидуальных способностей и личности. С другой стороны, цели общего образования могут быть реализованы лишь при адекватном его содержании.

По мнению В.В. Давыдова, знание следует рассматривать, с одной стороны, как результат мыслительных действий (отражение действительности), а с другой – как процесс получения этого результата (мыслительные операции). Включение растущего человека в целесообразную деятельность является одним из решающих факторов целостного развития его личности. В основе разработки модели учебно-познавательной математиче- ской деятельности лежит вывод психологов о том, что обучение в школе всем предметам необходимо строить так, чтобы оно в сжатой, сокращенной форме воспроизводило действительный исторический процесс рождения и развития знаний [2, с. 152].

Следовательно, развивает не только знание, но и специальное его конструирование, моделирующее содержание научной области, методы ее познания. Личностно-деятельностный подход предполагает такую мо- дель обучения математике, которая «имитирует» творческую математическую деятельность, что позволяет приобщать школьников к этой деятельности, овладевать соответствующим опытом на уровне своих индивидуальных возможностей.

Для того чтобы школьники смогли включиться в исследовательскую деятельность, они должны владеть высоким уровнем логической культуры, соответствующими средствами учебно-познавательной деятельности, связанной с логическими умениями. С другой стороны, процесс познания опирается не только на логику, в нем находят достаточное отражение такие индуктивные умозаключения, как интуиция и аналогия.

По этому поводу Д. Пойа говорит о двух типах рассуждений в математике – доказательных и правдоподобных: «Доказательные рассуждения пронизывают как раз науки в той же мере, что и математика, но сами по себе (как и сама математика) не способны давать существенно новые знания об окружающем нас мире. Все новое, что мы узнаем о мире, связано с правдоподобными рассуждениями» [3, с. 14-15]. В этом смысле доказательство выступает способом организации полученных эмпирическим путем результатов.

Математическое знание в своем развитии не исчерпывается дедуктивно-аксиоматической компонентой, в нем присутствует эвристическое начало, эвристическая деятельность.

Эвристика рассматривается не только как эмпирический феномен, но и как своеобразный предмет исследования особой научной дисциплины, как своеобразный тип мыслительных процессов, непосредственно связанный с творческой деятельностью человека. Поэтому эвристика может трактоваться, с одной стороны, как отдельное средство или прием, с другой стороны, как целостная система взглядов, которая позволяет соотносить собственные действия в ходе решения задачи и их обоснования. На этом фоне эвристика выглядит особым видом мышления, который управляет другими формами интеллектуальной активности.

Одни исследователи задают суть «эвристического» путем указания на основную характеристику этого понятия – познание, направленного на раскрытие значимых связей и отношений задачи. С этой точки зрения эвристика как прием противопоставляется эвристической деятельности (единому творческому мышлению), которая и обладает познавательной способностью. Другие авторы видят источник возникновения эвристик в самой мыслительной деятельности субъекта, который самостоятельно извлекает из нее эвристические приемы и может их в дальнейшем использовать в самых разных ситуациях. В этом контексте эвристику можно определить как правило самонаведения на решение.

В.Ф. Спиридонов предлагает использовать в качестве критерия классификации объект приложения эвристики в процессе решения. Таким образом, удается различить: 1) эвристики, направленные на работу с задачей, 2) эвристики, наводящие на решение, 3) эвристики, направленные на работу с собственным мышлением,

4)    эвристики, нацеленные на оптимизацию процесса решения, 5) способы достижения креативного состояния [4].

Под эвристикой мы будем понимать всякий прием, применение которого способствует отысканию метода решения задачи, помогает сориентироваться в проблемной ситуации и наметить план решения.

Выделим свойства эвристики, с помощью которых можно определить ее качественное своеобразие, а также выделить функции в процессе решения. На этом основании можно группировать в самостоятельные семейства те приемы, которые оказываются сходными по своему результату [1].

Таким образом, нами получена следующая совокупность эвристических приемов.

1.    Эмпирические эвристики: аналогия, интерпретация символических записей, первичное моделирование свойств объектов и их отношений.

2.      Предметные эвристики: замена термина его определением, переосмысление объектов   (фигур, отношений между ними) с точки зрения других понятий, использование характеристических свойств понятия, развертывание определений понятий, выведение свойств объектов и их отношений.

3.    Логические эвристики: анализ условия и требования задачи, выделение объектов и отношений между ними, выведение следствий из условия задачи, преобразование требования задачи в равносиль ное ему, конструирование на основе данной задачи новой задачи.

4.     Геометрические эвристики: выполнение чертежа (рисунка, схемы), отвечающего условию задачи, переосмысливание элементов чертежа с точки зрения другой фигуры, достраивание фигуры, выполнение дополнительных построений.

5.      Концептуальные эвристики: перевод содержания задачи на язык специальной теории, замена переменного, переформулировка задачи, формулирование и использование родственной задачи, разбиение задачи на части, выделение частного случая,  конструирование вспомогательных задач, рассмотрение предельного случая, обобщение задачи, трансформация условия задачи, формулирование и решение обратной задачи, выдвижение альтернативных гипотез.

Данная совокупность имеет значение не только для классификации эвристических приемов, но и для обучения их применению в процессе решения математических задач.

Рассмотрим конкретные примеры использования эвристических приемов.

1.   Переосмысление элементов чертежа с точки зрения другой фигуры.

Решение. Решение задачи становится очевидным, если заметить, что середины сторон выпуклого четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Поэтому отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD, являются диагоналями параллелограмма FMNK (см. Рисунок). Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то параллелограмм является ромбом, откуда следует, что диагонали AC и BD четырехугольника ABCD равны.

1.   Достраивание фигуры.

Для формирования и проявления у школьников необходимых эвристических приемов необходимо создавать определенные условия. Таким условием является включение школьника в активную поисковую деятельность, в самостоятельное выдвижение гипотез и в поиск их решения или опровержения, то есть в полноценную эвристическую деятельность.

С другой стороны, плодотворная и правильная интуиция вырабатывается на основе прочных знаний. На этапе логического обоснования доказательство помогает овладеть общими и специальными математическими методами, приобрести нужную для их грамотного применения математическую культуру, составной частью которой является логическое мышление.

Интуиция и ее связь с логикой в процессе обучения математике играют и мотивационную роль. Наш личный опыт работы преподавания элективных математических курсов для учащихся школ города Иванова показал, что догадка, высказанная ими на основе интуиции или правдоподобных рассуждений, стимулирует к поиску ее обоснования.

 

Список литературы

1.      Артамонов М.А. Эвристическая деятельность учащихся как компонент содержания математического образования // Инновационная деятельность педагога в условиях реализации ФГОС общего образования: сб. науч. статей. СПб., 2014.

2.      Давыдов В.В. Теория развивающего обучения. М., 1996.

3.      Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1975.

4.      Спиридонов В.Ф. Эвристики творческого мышления. М., 2000.