ОПИСАНИЕ ВАРИАНТОВ РЕШЕНИЯ ПРОБЛЕМНЫХ СИТУАЦИЙ, ИСПОЛЬЗУЯ ТЕОРИЮ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

Основная трудность решения задач оптимизации многоуровневых иерархических систем заключается в том, что решение нижестоящего уровня зависит от задания со стороны вышестоящего уровня (цели, ограничения),  а решение вышестоящего уровня, в свою очередь, зависит от отклика элементов нижестоящего уровня. Исходя из этих двух понятий координируемости, постулат совместимости можно записать следующим образом:

•                   для успешной работы многоуровневой иерархической системы необходимо, чтобы цели (задачи) ее подсистем были скоординированы между собой и с глобальной целью всей системы в целом;

•                   система управления будет обладать свойством безусловной межуровневой согласованности, если управляющие воздействия со стороны вышестоящего уровня управления, максимизирующие согласно принципу оптимальности глобальную функцию принадлежности, одновременно максимизируют и локальные функции принадлежности нижестоящего уровня, т.е. это свойство будет присуще лишь идеально спроектированной системе.

Постараемся с помощью простых примеров     продемонстрировать варианты решения проблемных ситуаций, используя теорию нечетких множеств. Представлена система, состоящая из двух подсистем

Порядок работы.

1.        Рассчитываются «подсистема 1» и «подсистема 2».

2.        Проводится согласование на уровне подсистем и, при необходимости, согласование с вышестоящим уровнем. До описания правил и алгоритма согласования, введем понятия «конфликтная ситуация» и «согласованная ситуация» между подсистемами. Чтобы облегчить понимание этих терминов, рассмотрим их на примерах.

 Ситуация 1 - конфликтная.

Описание неявного множества допустимых значений x для функции f21

В результате вычислений mG1 (x) получается множество допустимых значений xÌ[-1.3, -1.2, -1.1, -1, -0.9, -0.8, -0.7, -0.6, -0.5, -0.4, -0.3, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3], для  которых mG1 (x) = 1. В результате вычислений mG 2 (x) получается множество допустимых значений xÌ[1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 2, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6,], для которых mG 2 (x) = 1. Процедура согласования: проверяется существование множества допустимых решений для обеих подсистем соотношением mD(x)=mG1(x)ÙmG2(x). Если mD(x)=0 (так как области пересечения x для обеих подсистем равны Æ), то это «конфликтная ситуация», которая требует разрешения на вышестоящем уровне. Процедуру разрешения конфликта мы рассмотрим ниже, сейчас же рассмотрим вариант «согласованной ситуации».

Ситуация 2 - согласованная.

Описание неявного множества допустимых значений x для функции f21


В результате вычислений mG1 (x)получается множество допустимых значений xÌ[-1.3, -1.2, -1.1, -1, -0.9, -0.8, -0.7, -0.6, -0.5, -0.4, -0.3, -0.2, -0.1, 0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3], для которых mG1 (x) = 1.

В результате вычислений mG 2 (x) получается множество допустимых значений xÌ[0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6,], для которых  mG 2 (x) = 1.

Процедура согласования: проверяется существование множества допустимых решений для обеих подсистем соотношением mD(x)=mG1(x)ÙmG2(x). Если mD(x)¹Æ – это «согласованная ситуация». В нашем случае mD(x)=1 при xÌ[0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1, 1.1, 1.2, 1.3]. То есть существует область, решения обеих подсистем на этой области возможны и оптимальны (близки к оптимальным). Никакого согласования с вышестоящим уровнем делать в «согласованной ситуации» не надо, можно все решения транслировать на нижестоящий уровень (то есть решать подсистемы следующего уровня не при зафиксированном х, а на множестве возможных х). Возможен и второй вариант – выход на вышестоящий уровень, определение наиболее эффективного решения на множестве допустимых, и передача оптимального решения на следующий уровень вниз. Стоит подчеркнуть, что выход на вышестоящий уровень в данной ситуации не относится к процедуре согласования (все полученные решения являются возможными, а значит – согласованными).

Процедура разрешения конфликта. Варианты решения проблемных ситуаций.

Ситуация 1. Существует (есть возможность определить) оптимальный вариант на вышестоящем уровне. Если mD(x)= Æ, то есть налицо «конфликтная ситуация», в действие вступает процедура разрешения конфликта. Существует как минимум два варианта решения предлагаемой ситуации.

Вариант 1.

•                   Определить f22 на множестве mG1(x) и f21 на множестве mG2(x),

•                  все определенные данные передаются на вышестоящий уровень, где на основании этих данных определяется f11 и ищется оптимальное значение optimum f11 на областях mG1(x)ÈmG2(x).

 Разберем на примере вышеописанной ситуации 1:

1.     Определяем f22 на множестве mG1(x) и f21 на множестве mG2(x)

1.     Все определенные данные передаются на вышестоящий уровень, где на основании этих данных определяется f11 и ищется оптимальное значение optimum f11 на областях mG1(x)ÈmG2(x) (выделено синим цветом с подчеркиванием) mG0

Также можно воспользоваться не единственным оптимальным вариантом, а заданным с помощью нечеткого  множества

 набором  оптимальных  решений    (они выделены синим цветом, также см. строку mG0=1). Иными словами, если существует (есть возможность определить) оптимальный вариант на вышестоящем уровне, он определяется с помощью отдельной процедуры. Оптимальное решение (набор решений) передается вниз на подсистему 3-го уровня (подсистемы 2 уровня уже решены).

Вариант 2.

Данный вариант представляет развитие первого варианта с использованием классической теории нечетких множеств. На наш взгляд это наиболее интересный и перспективный путь, который позволяет перевести ситуацию из класса «конфликтная ситуация» в класс «согласованная ситуация». Изменим описание задания неявного множества допустимых значений, переведя его из плоскости «подходит»/«не подходит» в классическую для теории нечетких множеств непрерывную (или хотя бы многоуровневую) систему оценки.

Новое описание нечеткого множества допустимых значений x для функции f21

При этом множество допустимых значений mG1,2 в диапазоне [0.98, 1] соответствует категории «подходит», множество допустимых значений mG1,2 в диапазоне [0.95, 0.98) соответствует категории « скорее подходит», множество допустимых значений mG1,2 в диапазоне [0.9, 0.95) соответствует категории «скорее не подходит», множество допустимых значений mG1,2  в диапазоне [0, 0.9) соответствует категории «не подходит». Порядок поиска максимума целевой функции по областям (в областях 7-10 искать бессмысленно, мы приводим их для общего списка):

1.        "подходит" - "подходит"

2.        "скорее подходит" - "подходит"

3.        "скорее подходит" - "скорее подходит"

4.        "скорее не подходит" - "подходит"

5.        "скорее не подходит" - "скорее подходит"

6.        "скорее не подходит" - "скорее не подходит"

7.        "не подходит" - "подходит"

8.        "не подходит" - "скорее подходит"

9.        "не подходит" - "скорее не подходит"

10.     "не подходит" - "не подходит"

По данному алгоритму находим 5 удовлетворяющих нас решения в области «4 - "скорее не подходит" - "подходит"», которые можно передавать для решения на нижестоящий уровень.

Анализ результата. С одной стороны, при переходе от двухуровневой системы «подходит»/«не подходит» мы ‘не ухудшили’ критерии («подходит» в первом описании точно соответствует двум категориям второго описания - «подходит» и «скорее подходит»). С другой стороны, мы ввели дополнительную степень свободы – категорию «скорее не подходит». Никакого противоречия между методами согласования по варианту 1 и варианту 2 нет. В первом предложенном варианте решения на вышестоящем уровне будет принято в пользу одного из решений в ущерб другому – из области «скорее не подходит» или «не подходит», второе описание позволяет алгоритмизировать поиск согласованного решения без выхода на вышестоящий уровень. Все найденные по первому алгоритму решения (при х=-1; - 0.1; 0; 0.1; 1.5; 1.6) были найдены и по второму алгоритму (всего их можно найти 18, однако 13 лежат в области «не подходит»). Более того, найденное по первому алгоритму решение при х=-1 при втором варианте будет забраковано как решение из области «не подходит». То есть второй алгоритм дает более качественный результат. Вторым достоинством второго алгоритма является применимость не только к конфликтным, но и к согласованным ситуациям: если существует непустая область «подходит» - «подходит», и в этой области существует решение вышестоящего уровня, то это согласованная ситуация, которая будет решена на первом же шаге. Таким образом, нам не требуется отдельный алгоритм для работы в согласованной и несогласованной ситуации.

Ситуация 2

Невозможно определить оптимальный вариант на вышестоящем уровне (не хватает данных, варианты равноценны и т.п.). В этом случае требуется вмешательство человека. Оно может осуществляться несколькими способами (для получения возможности выявления оптимального значения на вышестоящем уровне):

1.     переопределение целевой функции на вышестоящем уровне. Осуществляется только с участием человека.

2      изменение весовых коэффициентов, если используются несколько параметров оптимизации (несколько целевых функций). Этот вариант может быть автоматизирован путем задания на начальном этапе нескольких наборов весовых коэффициентов (с указанием очередности применения). Однако этот вариант не всегда может дать гарантии возможности определения оптимального варианта на вышестоящем уровне.

Список литературы

1.        Артюшина Т.Г. Построение модели судна как сложной многоуровневой системы на основе теории нечетких множеств. − "Судостроение", 2009, №6, с. 47 – 48

2.        Артюшина Т.Г. Алгоритм согласования в процедуре многоуровневой оптимизации судов. – “Морской вестник”, 2008, № 1, с. 85-88