Инженерная практика дает  множество примеров, в  которых  в  найденном рациональном облике конструкции легко увидеть физическую сущность решения, демонстрируемую, например, видом эпюр изгибающих моментов исходного линейного варианта проекта. Так облик силовых линий Крымского моста в г. Москве, реализованный в форме двух волн, по форме совпадает с эпюрами изгибающих моментов для двухопорной балки, нагруженной распределенной нагрузкой (Рисунок 1). Аналогичное подобие форм можно выявить и для статически неопределимых конструкций.

  
     Задача поиска рациональной формы оси пространственной рамы возникает во многих случаях проектирования замкнутых силовых контуров технических объектов, в частности, замкнутой системы крыльев летательного аппарата (ЛА). Математическая модель соответствующей балочной системы постоянного сечения в идеализации метода конечных элементов (МКЭ) представлена на рисунке 2. В каждый из узлов модели приложены вертикальные силы по 10 т. и горизонтальные силы по 1 т. в узлы верхней балки и по минус 1 т. в узлы нижней балки. Внутренние усилия, возникающие при этом в балке, представлены на Рисунке 3.

   Оптимизация пространственной формы балки по критерию минимума ее массы ведется с использованием полученных эпюр и приводит к виду, показанному на рисунке 4. При задании условий: h = const, Py = const (сумма вертикальных компонент распределенной нагрузки, ортогональной в каждом сечении оси балки), получаем решение в форме петли, считая, что дуги не взаимодействуют в зоне их визуального пересечения. Незначительное разнесение элементов петель в направлении из плоскости чертежа решает вопрос об их силовом взаимодействии в точке “пересечения”.

Рациональная форма оси, с учетом знака продольного усилия в балке, как бы отслеживает эпюры локальных изгибающих моментов, действовавших в дугах замкнутого крыла с прямолинейными участками. При этом форма нижней ветви как бы меняет знак, поскольку усилия в верхней ветви (сжатие) и нижней (растяжение) противоположны по знаку. Полученное математически оптимальное формальное решение типа “петля” дает направление поиска реального технического пространственного решения, которое корректируется с учетом габаритных и аэродинамических ограничений на конструкцию ЛА.

Указанный подход можно считать интуитивной изобретательской догадкой, которую далее можно тиражировать и использовать в практике проектирования в качестве “первого приближения”. Но реально в основе оптимизации пространственной формы оси замкнутого крыла лежат апробированные и достоверные принципы, и с их помощью мы приходим к тем же, но конкретизированным результатам.

    Задача заключается в достижении минимального силового веса конструкции крыла при условии обеспечения прочности во всех расчетных случаях полета и с учетом требований и ограничений со стороны аэродинамики, управления полетом и других научных дисциплин к параметрам ЛА.
     Снижение веса конструкции крыла в рассматриваемом случае связано с двумя факторами. Во-первых, это изменение пространственной формы оси балки, приводящее к снижению уровня изгибающих моментов, действующих в каждой из ветвей (нижней и верхней) балки. При этом продольные силы, действующие вдоль оси балки, имеют эксцентриситет относительно исходной линейной оси, что приводит к созданию дополнительного момента, подбираемого таким образом, чтобы он компенсировал исходный изгибающий момент. Оценить величину искомых отклонений в каждом из сечений в первом приближении можно по соотношению: yi = Мизг.i / Рz.i . Во-вторых, становится рациональным перераспределение материала между верхним и нижним поясами балки в пределах каждого из сечений. На начальном этапе проектирования исследуется модель в виде “двутаврового” бруса малой кривизны с площадями поперечного сечения верхнего и нижнего пояса F1, F2 и высотой между осями поясов h (Рисунок 5). Брус нагружен распределенной нагрузкой q, зависящей от формы оси, проходящей через геометрические центры его сечений S.



   Итоговое нагружение сечений балки изгибающим моментов Мизг получается как суперпозиция момента от внешнего нагружения (Mq) и разгружающего момента от реакции взаимодействия ветвей (NL), (см. для нижней ветви балки). В частном случае симметричной балки с кососимметричным нагружением в точке стыка ветвей имеет место только горизонтальная сила взаимодействия NL. Силовые взаимодействия МL и NL двух дуг, на которые разбивается при расчете крыло, в ходе итераций находятся путем использования программы МКЭ.

     Перерасчет значений проектных параметров Fi основан на выборе максимального напряженного состояния для элемента {smax}e , полученного из расчета конструкции на n случаев нагружения (1), сопоставлении его с допускаемым напряжением [sдоп] и соответствующим пересчетом проектных параметров (2) и проверкой (3) полученных значений на выполнение ограничений по минимальным значениям параметров Fmin:

где i – индекс итерации, e – индекс элемента, a – показатель степени, управляющий сходимостью алгоритма (рационально значение a=1.2-1.3)

Для плоской задачи, представленной на рисунке 5, для каждого отсека максимальные напряжения в поясах, без учета включения в работу относительно тонких стенок, вычисляются по приближенным соотношениям:

Соотношения (4-5), справедливые для бруса с прямой осью, правомерно применять к брусу малой кривизны, если r/h<10. В качестве критерия оптимальности принято условие равнонапряженности полок балки (лонжерона):

 

|σ1| = |σ2| = σдоп                    (6)

 Разрешая систему (4-5) относительно F1 и F2 с учетом (6) для плоской задачи получаем соотношения:

 

Во всех случаях проверяется выполнение условий:

 

     Вариация формы оси балки ведется при условии постоянства ее размаха (L=const) и постоянства суммарной компоненты вертикального нагружения. Основной вклад в минимизацию массы конструкции дает функция веса G, связанная с приведенной массой поясов лонжеронов на k участках балки:

где ΔSi - длина оси участка балки, F1i, F2i - площади сечений поясов i-го участка балки, представленные соответствующими формулами из набора (7-9), γi  - удельный вес материала.

   Оценка потребности в весе G продольного силового набора замкнутой балки, воспринимающей изгибающий момент внутренних сил, а это основная составляющая веса, на значение которой можно эффективно воздействовать путем изменения формы оси балки, выполняется посредством интегрирования модуля значений изгибающего момента Mx и других характеристик балки вдоль его осевой линии S:

где [] – уровень допускаемых напряжений, γ - удельный вес конструкционного материала, hz – усредненная высота кессона в сечении z, S – траектория оси балки, кроме зоны стыка, А – статистический коэффициент, учитывающий массу других компонент. При исследовании крыла самолета обычно принимают А = 2. Методика учитывает распределение относительных толщин и жесткостных характеристик крыла, вариантов его нагружения и технологических возможностей их аэродинамического воспроизведения, а также пространственные ограничения на форму крыла. В итерационном процессе решения формы осей нижней и верхней ветвей балки становятся несимметричными, и происходит перераспределение внешнего нагружения. В рассмотренном проекте минимум суммарного веса крыла и фюзеляжа достигается приближенно при расположении бортовых сечений крыльев на 1/3 и 2/3 длины фюзеляжа со смещением их по полету в соответствии с балансировкой аппарата.

Рис.6. Модель ЛА с оптимизированной по критериям прочности формой центроидной  оси крыла. Патент N 2067948, ЦАГИ, 1996.

 

   При использовании замкнутого крыла становится более сложно решать проблемы аэродинамики и аэроупругости. В связи со снижением массы конструкции снижается ее локальная жесткость и опасные аэроупругие колебания могут возникать на более низких скоростях полета. Очевидно, что рассмотренная схема может применяться для аппаратов с менее высокими требованиями к скорости полета, например, для топливозаправщиков.

   Выигрыш в весе конструкции крыла с криволинейной центроидной осью по сравнению с вариантом крыла с прямолинейными участками оси с учетом реальных конструктивных ограничений составляет в различных проектных реализациях от 12 до 20%, а снижение деформаций на конце крыла - 25-35%.

 

Список литературы

1. Семенов В.Н. Конструкции самолетов замкнутой и изменяемой схем. М., Изд. ЦАГИ, 2006, 229 с.