24 марта 2020г.
Как известно, число независимых упругих постоянных в изотропном теле равно двум. Часто за основные постоянные принимают модуль Юнга и коэффициент Пуассона. В случае анизотропного тела число независимых упругих постоянных может быть значительно больше. В нашем случае используются техническая теория анизотропных пластин, основанная на кинематических гипотезах Кирхгофа и обобщенном законе Гука для ортотропного материала, содержащего четыре упругие постоянные.
Расчет тонких прямоугольных пластин при различных условиях закрепления на основе уравнений технической теории представляет одну из сложных задач строительной механики даже в случае изотропного
материала〔1,2〕. В настоящей работе применен структурный метод конечных интегральных
преобразований (КИП), разработанный профессором Сеницким Ю.Э.〔3,4〕.
Постановка задачи.
Рассматривается прямоугольная тонкая пластинка из ортотропного упругого материала, загруженная перпендикулярно ее срединной поверхности распределенной нагрузкой q(x,y).
Разными авторами отмечались и исследовались анизотропия бетона [5,6].
Число независимых упругих постоянных в изотропном теле равно двум (модуль Юнга и коэффициент Пуассона). В случае анизотропного тела число независимых упругих постоянных значительно больше. В случае ортотропного тела число независимых упругих постоянных равно четырем.
Полагаем в основу гипотезы Кирхгофа, (т.е. прямолинейный элемент остается прямолинейным нормальным к деформированной оси и не изменяет своей длины).
т.е. 
и пренебрегаем нормальными напряжениями в направлении толщины
Исследования проводятся для весьма общего случая упругого защемления контура пластины. Компоненты вектора перемещений определяется известными равенствами:
Полагаем в основу гипотезы Кирхгофа, (т.е. прямолинейный элемент остается прямолинейным нормальным к деформированной оси и не изменяет своей длины).
и пренебрегаем нормальными напряжениями в направлении толщины
Воспользуемся геометрическими уравнениями Коши, связывающими относительные
деформации и перемещения, а также законом Гука для ортотропного тела в случае плоского напряженного состояния имеем:
Здесь E1 , E2 ,n1 ,n 2 ,G – модули
Юнга, коэффициенты
Пуассона
для
главных направлений анизотропии и модуль сдвига.
Для ортотропной пластины справедливы зависимости:
Проинтегрировав соответствующие выражения для напряжений (1) по толщине пластины, получаем физические уравнения, связывающие конечные усилия и перемещения:
Из трех уравнений равновесия (2х уравнений моментов относительно осей х,y) и суммы проекций на ось z в направлении толщины, получаем выражения для поперечных сил Qx , Qy и дифференциальное уравнение изгиба ортотропной прямоугольной пластинки:
Построение общего решения методом КИП.
С учетом обозначений трансформант (7) и условий (8) и (9), уравнение (6) и граничные условия (5) принимают вид:
Подставляя (16)
и
граничные условия (15),
получаем однородную систему
алгебраических уравнений для постоянных C1i ,C2i , C3i , C4i , разыскивая
нетривиальное решение
которой, получаем трансцендентное уравнение для определения собственных значений λi .
Следует отметить, что приведенная методика расчета сложной задачи изгиба прямоугольных ортотропных пластин при различных условиях их опирания, справедлива при различных случаях загружения.
Список литературы
1. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластины и оболочки. М.Физматгиз,1966.635с.
2.
Огибалов П.М., Колтунов М.А. Оболочки и пластины. Издательство Московского университета.1969.678с.
3.
Сеницкий Ю.Э. Изгиб тонкой прямоугольной изотропной пластины при различных условиях закрепления на контуре.//Известия вузов. Строительство,1998№6.18-23с.
4.
Сеницкий Ю.Э.
Функция
влияния
в
задачах прочности и колебаний упруго
защемленных прямоугольных пластин.//Известия вузов. Строительство,1999№9.19-25с.
5. Вайнберг Д.В., Вайнберг Е.Д. Расчет пластин. Киев. Издательство «Будiвельник»1970.435с.
6.
Лехницкий
С.Г. Теория
упругости
анизотропного тела. М-Л. Госиздат
техн.
теорет.
лит- ры,1977.355с.
7.
Алейников С.М., Некрасова Н.Н. Изгиб ортотропных фундаментальных плит, расположенных на упругих неклассических основаниях.//Известия вузов. Строительство,1996№9.65-71с.
