К ВЕРОЯТНОСТНОМУ ОПИСАНИЮ НЕУСТОЙЧИВЫХ ДВИЖЕНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Явление детерминированного хаоса относят к одному из важнейших открытий XX века [1]. Исследования этого явления побуждают по-новому рассматривать проблемы описания неустойчивых движений. Отметим, в частности, следующее: 1. Поскольку, хаотические движения имеют место даже в простых механических системах (см., например, [2−4]), то вопрос о границе применимости детерминированного описания движения стоит и для простых задач классической механики. 2. Поскольку хаотическое движение можно назвать "сильно неустойчивым" движением, то возникает вопрос о корректности рассмотрения каких-либо изолированных систем, в том числе консервативных систем. Ведь любое сколь угодно малое внешнее воздействие может привести к существенному изменению траектории, а сколь угодно малая диссипация и (или) подкачка энергии приводит к иному структурированию фазового пространства.

Одной из основных проблем описания неустойчивых движений механических систем является определение возможности использования моделей механики (ее уравнений движения) для вероятностного прогноза неустойчивых движений. В разных аспектах эта проблема рассматривалась, например, в [5-17 ].

Целью статьи является анализ проблемы вероятностного описания неустойчивых движений в задачах классической механики для повышения качества прогноза этих движений. На простых примерах рассматривается соотношение случайности и определенности в неустойчивых механических движениях, и рассматривается содержательность задачи вероятностного описания таких движений.

Актуальность рассматриваемой проблемы в первую очередь связана с актуальностью исследований явления детерминированного хаоса. Хотелось бы отметить особую роль классической механики в решении проблем детерминированного хаоса и проявления случайности в детерминированных моделях. Это, как представляется, связано с тем, что классическая механика твердого тела (механика Ньютона), по-видимому, является наиболее обоснованной, апробированной и строгой теорией современной физики, а образы механических движений являются наиболее доступными для человеческого воображения.

Вместе с тем, задачи вероятностного прогнозирования неустойчивых движений в теоретической механике рассматривались весьма редко. Это связано с рядом причин, основные из которых, как представляется, описаны ниже. В упрощенном виде традиционная задача классической механики состоит в следующем: нужно определить основные закономерности движения системы твердых тел, которое описывается системой достаточно гладких обыкновенных дифференциальных уравнений. В силу теоремы о существовании и единственности решений в этих решениях никакой случайности  быть не может. Добавим сюда,  что задача интегрирования уравнений динамики твердых тел сама по себе чрезвычайно сложная. Достаточно вспомнить классические задачи движения твердого тела относительно неподвижной точки и задачу трех тел небесной механики, для которых лишь в отдельных случаях построены аналитические решения дифференциальных уравнений. И это при 1.5-х степенях свободы! Т.е. движение описывается системой четырех обыкновенных автономных дифференциальных уравнений первого порядка и имеется первый интеграл. Отметим также, что прикладной характер исследований обычно связывает задачу с уникальным объектом, в движении которого случайность неприемлема. Неустойчивые режимы движения систем в большинстве случаев не представляют интереса, а поиск устойчивых движений представляет собой цель и задачу многих исследований.

Конечно, основной причиной того, что вероятностные характеристики неустойчивых движений почти не рассматривались в теоретической механике, является детерминизм ее моделей и их решений.

Одним из наиболее интересных проявлением динамического хаоса в диссипативных системах является случайная синхронизация движений. «Синхронизация – одно из фундаментальных свойств нелинейных систем, которое заключается в установлении определенных соотношений между характерными временами, частотами или фазами колебаний парциальных систем в результате их взаимодействия» [18]. (Для механиков более привычным является термин «захват в резонанс».) Явление случайной синхронизации при детерминированном описании динамики заключается в том, что численное исследование модельной задачи, описываемой системой обыкновенных дифференциальных уравнений, не позволяет однозначно определить в  каком из аттракторов окажется траектория. Речь идет о неразрешимой аналитически системе нелинейных дифференциальных уравнений без каких-либо случайных величин. Очень малые изменения начальных условий, параметров системы, или изменения численного метода исследований приводят к тому, что расчетные траектории системы попадают в различные аттракторы. Таким образом, для многих траекторий системы детерминированное предсказание их предельных (конечных) состояний становится невозможным.

Для улучшения качества прогноза представляет интерес исследование возможности вероятностного описания случайной синхронизации движения систем. То есть исследования возможности описания способности аттракторов «притягивать» траектории («мощности» аттракторов) некоторым числом.

Для уточнения задачи вероятностного прогноза предельных неустойчивых движений выделим класс систем, обладающих следующими свойствами: система имеет конечное число аттракторов, и все траектории системы стремятся к ним; количество аттракторов, а также их «способность притягивать траектории» (т.е. количество траекторий, стремящихся к ним) не зависит от времени; в пространстве начальных данных траекторий существует область, для которой очень малые изменения фиксированных начальных данных или параметров системы приводят к «попаданию» траектории в другой аттрактор. Используемы термин «очень малые изменения» не может быть определен в общем случае – он определяется постановкой конкретной задачи. Речь идет о точности измерения или задания начальных условий и параметров конкретной системы. Для задач классической механики, по-видимому, абсолютной погрешностью задания начального положения траектории и параметров системы является величина сопоставимая с размером молекулы [20]. Назовем этот класс систем классом p (probability). Именно для систем этого класса будем рассматривать задачу вероятностного описания предельных движений.

В работах [−58] предложен подход к вероятностному прогнозу предельных движений гамильтоновых систем при воздействии малых диссипативных возмущений. Для систем с одной степенью свободы дано определение вероятности и приведено утверждение, позволяющее рассчитывать вероятности предельных движений. Это утверждение (доказательство которого в [5] предоставлено читателям, а в [9] дано громоздкое и не очень ясное доказательство несколько другого утверждения), как представляется, требует некоторых уточнений. Но, основным недостатком предложенного подхода видится само определение вероятности. Использованный в этом определении предельный переход при стремлении к нулю возмущающих сил, в том числе и описывающих диссипацию, во многих случаях делает определение бесполезным. Это связано, во-первых, с тем, что, вообще говоря, нас интересует прогноз движения при некотором фиксированном, а не бесконечно малом значении коэффициента диссипации. А, во-вторых, с тем, что изменение диссипативных сил, вообще говоря, приводит к перестройке структуры фазового пространства, к появлению или исчезновению притягивающих множеств. Так, например, в задаче движения орбитального маятника изменение коэффициента вязкого трения приводит к изменению количества аттракторов (резонансов) в которые может быть «захвачена» траектория [20].

Другой подход вычисления вероятности предельных движений был использован в [10-12]. Он основан на утверждении, которое можно сформулировать следующим образом: каково бы не было непрерывное распределение начальных условий вращающейся фазы, при стремлении времени к бесконечности распределение фазы будет стремиться к равномерному. Это утверждение представляется достаточно очевидным с физической точки зрения и позволяет обосновать равновероятность исходов рулетки и вероятность 0.5 выпадения стороны монеты при бесконечно больших начальных скоростях подбрасывания. Однако этот подход имеет и очевидные недостатки. Во-первых, его трудно распространить на более сложные системы, когда нельзя выделить независящую от других переменных вращающуюся фазу. Во-вторых, он не позволяет судить о вероятности предельных движений, когда время их установления далеко от бесконечного. Например, в [11] попытка экспериментального обнаружения асимметрии впадения стороны монеты вызывает больше удивление, чем сочувствие. Ведь не вызывает сомнения, что начальное распределение отклонений при подбрасывании монеты рукой существенно скажется на распределении исхода (рассматривается процесс без соударений). В-третьих, и, как представляется, самое важное, данный подход вводит вероятность в задачи через вероятность ошибок начальных данных, т.е. выводит вопрос об особенностях и содержательности вероятностного предсказания предельных движений за рамки рассматриваемых задач.

Таким образом, существует класс систем, для которых вероятностное описание может улучшить прогноз предельных движений. В литературе имеются подходы к определению вероятности предельных движений таких систем, подтверждающие существование вероятностей, как характеристик (свойств) системы, не зависящих от начальных условий траекторий. Однако предложенные подходы представляются несколько ограниченными, и решение проблемы требует более тщательного ее анализа.

Исследование возможности улучшения прогноза неустойчивых движений путем введения вероятностного описания представляется целесообразным начать с наиболее простых задач, для которых накоплены знания по вероятностному прогнозу движений. К таким задачам относятся классические случайные процессы: подбрасывание монеты и подбрасывание кубика. Для обеих задач признано существование вероятностей предельных движений, как свойств систем, и оба процесса могут быть достаточно просто описаны в рамках моделей классической механики. В пользу использования таких простых задач выступает и тот факт, что для достаточно подробного статистического анализа потребуется проведение десятков, или сотен миллионов численных экспериментов.

Исследованию процесса подбрасывания монеты уделяется традиционно большое внимание [10-17]. Здесь получены и содержательные, и противоречивые результаты. Например, в [14,15] утверждается, что процесс является детерминированным, но ошибки задания начальных условий не позволяют предсказать его исход. По- видимому, авторы используют философские  обобщения, поскольку иначе детерминированность процесса, в котором нельзя предсказать исход, определяется умением авторов строить модели классической механики.

Задача исследования процесса подбрасывания кубика более широкая, чем для монеты. Здесь, при введении асимметрии, например, разных длинах граней кубика, или смещении его центра масс от геометрического центра, определение вероятности не очевидно [19] (его нельзя сделать из соображений симметрии). При исследовании процесса подбрасывания кубика возникает и задача определения зависимости вероятности от механических параметров системы, таких как моменты инерции, соотношения длин сторон, коэффициентов соударения кубика о поверхность. Представляется, что задача исследования процесса подбрасывания кубика сочетает в себе простоту моделей динамики и общность задачи исследования, и позволит уточнить основные понятия и выработать подходы для вероятностного прогноза предельных движений систем класса p.

Список литературы

1.     Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса / А. Ю. Лоскутов // УФН – 2010. -Том 180, №12 – С. 1305-1329.

2.     C. J. Luo, Y. Guo, Motion Switching and Chaos of a Particle in a Generalized Fermi-Acceleration Oscillator, Mathematical Problems in Engineer ing, vol. 2009, Article ID 298906, 40 pages, 2009. doi:10.1155/2009/298906.

3.     A. Okninski, B. Radziszewski, Dynamics of impacts with a table moving with piecewise constant velocity, Nonlinear Dynamics 58 (2009) 515-523.

4.     Пироженко А. В. Хаотические режимы движения  в динамик космических тросовых систем. 1. Анализ проблемы // Космiчна наука i технологiя. — 2001. — Т. 7, № 2/3. — С. 83–89.

5.     Арнольд В. И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения вклассической механики и небесной механики / В. И. Арнольд // Успехи математических наук. – 1963. – Т. XVIII, вып. 6 (144). – С. 91 – 192.

6.     Арнольд В. И. Математические методы классической механи-ки / В. И. Арнольд, В.В.Козлов, А.И.Нейштадт. – М.: Наука, 1989. – 472 с.

7.     Нейштадт А. И. Захват в резонанс и рассеяние на резонансах в двухчастотных системах // Труды математического института им. В. А. − 2005.− Т. 250 − С. 198–218.

8.     Нейштадт А. И. Вероятностные явления в возмущенных динамических системах[Электронный ресурс] –Режим доступа к лекции :http://www.iki.rssi.ru/seminar/200001/abstract.htm.

9.     Freidlin M. I. Random Perturbation of Dynamical systems / M. I. Freidlin, A. D. Wentzell. – Second edition. – New York : Springer, 1998. – 445 p.

10. Keller J. B. The probability of heads / J. B. Keller // Americam Mathematical. – 1986. – V. 93. – Р. 191 – 197.

11. Diaconis P. Dynamical Bias in the Coin Toss / P. Diaconis, S. Holmes, R. Montgomery // SIAM review. – 2007. –Vol. 49, № 2. – Р. 211 – 235.

12. Probability and dynamics in the toss of a non-bouncing thick coin [Электронныйресурс] / Ee Hou Yong, L. Mahadevan // CornelUniversity library. – 2010. – 17 р. – Режимдоступа : http://arxiv.org/pdf/ 1008.4559v3.pdf.

13. Okninski A. An analytical and numerical study of chaotic dynamics in a simple bouncing ball model / A. Okninski, B. Radziszewski // ActaMechanicaSinica. – 2011. – Vol. 27, № 1. – Р. 130 – 134.

14. Understanding coin-tossing / J. Strzalko, J. Grabski, А. Stefanski, Р. Perlikowski, Т. Kapitaniak // Mathematical intelligencer. – 2010. – Vol. 32, № 4. – Р. 54 – 58.

15. Dynamics of coin tossing is predictable / J. Strzalko, J. Grabski, А. Stefanski, Р. Perlikowski, Т. Kapitaniak // Physics Reports. – 2008. – Vol. 34. – Р. 59 – 92.

16. Nagler J. How random is dice tossing? [Электронныйресурс] / J. Nagler, P. Richter // Рhysical review. – 2008. –Режимдоступа : http://pre.aps.org/abstract/ PRE/ v78/i3/e036207.

17. Flipping, spinning and tilting coins [Электронныйресурс] / L. Snell, B. Peterson, J. Albert, C. Grinstead // Chance News.    – 2002.   –    Режим доступа :http://www.dartmouth.edu/~chance/chance_news/recent_news/chance_news_11.02.html.

18. Анищенко В. С. Синхронизация регулярных, хаотических и стохастических колебаний / Анищенко В. С., Астахов В. В., Вадивасова Т. Е., Стрелкова Г. И., – РХД, 2008. – 144 с.

19. Kuindersma S. R., Blais B. S. Teaching Bayesian Model Comparison With the Three-sided Coin // The American Statistician. – 2007. – Vol. 61, № 3. – P. 239 – 244.

20. Харламов П.В. Очерки об основаниях механики. – Киев: Наук.думка, 1995. – 407 с.