19 октября 2019г.
В настоящей статье предложено решение для призматических оболочек произвольного очертания, построенное на основе метода начальных параметров. В отличие от традиционного применения этого метода для последовательно соединенных элементов, показана возможность его использования для призматических систем различной конфигурации. Матричная форма алгоритма позволяет производить автоматизацию вычислений, как на этапе формирования расчетной схемы, так и в процессе получения результатов.
Алгоритм расчета призматических оболочек предполагает наличие соотношений для перемещений и усилий, возникающих в прямоугольной пластине при действии продольно-поперечных статических нагрузок. При этом решение должно быть представлено в форме метода начальных параметров, позволяющего учитывать в правой части уравнений равновесия различные виды нагрузки.
Ключевые слова: теория упругости, призматическая система, напряженно- деформированное состояние, преобразование Фурье, матричная форма.
В настоящей работе приведено аналитическое решение, предназначенное для статического расчета призматических оболочек произвольной конфигурации с шарнирным опиранием торцевых сечений. В основу алгоритма положена методика формирования условий сопряжения и опирания пластин оболочки c применением топологических матриц. Напряженно-деформированное состояние элементов описывается на основе моментной технической теории Кирхгофа-Лява и плоской задачи теории упругости. При этом, естественно, в дифференциальных уравнениях отбрасываются инерционные члены, а нагрузка является функцией пространственных координат.
Используется одна из наиболее удобных форм представления решений статических задач с помощью метода начальных параметров, который позволяет свести краевую задачу к задаче с начальными условиями.
В отличие от численных методов, предлагаемый алгоритм обеспечивает непрерывное (континуальное) сопряжение пластин призматической оболочки и не требует дополнительного расчленения ее граней на элементы достаточно малых размеров.
В настоящей статье предложено решение для призматических оболочек произвольного очертания, построенное на основе метода начальных параметров. В отличие от традиционного применения этого метода для последовательно соединенных элементов, показана возможность его использования для призматических систем различной конфигурации. Матричная форма алгоритма позволяет производить автоматизацию вычислений, как на этапе формирования расчетной схемы, так и в процессе получения результатов.
Алгоритм расчета призматических оболочек предполагает наличие соотношений для перемещений и усилий, возникающих в прямоугольной пластине при действии продольно-поперечных статических нагрузок. При этом решение должно быть представлено в форме метода начальных параметров, позволяющего учитывать в правой части уравнений равновесия различные виды нагрузки.
Метод начальных параметров, введенный А.Н. Крыловым, нашел широкое применение для расчета стержневых элементов, пластин и оболочек. В отличие от традиционного применения метода для одного дифференциального уравнения, в настоящей работе он используется для интегрирования трех уравнений: двух связанных уравнений плоской задачи теории упругости и одного уравнения изгибного состояния пластины. Такое представление результатов является наиболее удобным для построения алгоритма расчета призматических систем с распределенными параметрами.
Предварительно рассмотрим отдельную пластину, имеющую на кромках y = 0; L шарнирное опирание, а на других сторонах - произвольное закрепление. Действие на е-ый элемент нагрузки с компонентами Pxe (x, y), Pye (x, y), Pze (x, y) вызывает появление в его срединной плоскости напряженно- деформированного состояния, которому соответствует вектор-функции:
Дифференциальные уравнения равновесия пластины и соответствующие граничные условия представляют математическую формулировку задачи, точное решение которой в рамках моментной технической теории Кирхгофа-Лява хорошо известно.
Форма записи дифференциальных операторов уравнений равновесия (после применения к исходной задаче преобразования Фурье и отделения переменной y) не зависит от того, является нагрузка динамической или статической. В результате имеем:
Решение (10), (11) использовано в работе [2], в которой получены формулы
метода перемещений для отдельных пластин и разработаны процедуры формирования матрицы жесткости составной призматической конструкции. В случае применения предлагаемой методики отпадает необходимость в определении функций единичных реакций на краях прямоугольного элемента.
Воспользуемся решением (11) для описания напряженно-деформированного состояния всей призматической оболочки через неизвестные начальные параметры ее элементов (12).3апишем уравнения равновесия во всех продольных узловых линиях призматической системы в виде:
Здесь ek b и ek b элементы прямоугольных матриц инциденций ориентированного графа В, В'.
Число строк матрицы В равно числу поперечных узловых линий оболочки , а число столбцов - числу ее граней. Любая k -ая строка при этом соответствует k -ому ребру, а e -ый столбец - е -ой пластине системы. Ненулевыми элементами матрицы В являются числа 1 и -1. Элементы матрицы B образованны на базе матрицы В путем замены строк, содержащих по три и более ненулевых элемента на строки, содержащие пары ненулевых элементов. Матрица e h обеспечивает преобразование усилий и перемещений из локальных в глобальную систему координат. Замечаем, что элементы матриц инциденций обеспечивают примыкание к k -ой узловой линии только тех пластин, которые соответствуют заданной конфигурации системы. Как показано в работе авторов, количество начальных параметров 
всегда соответствует числу краевых условий (14), (16) содержащих 8m равенств.
Таким образом, соотношения (14), (16) представляют замкнутую неоднородную алгебраическую систему уравнений размерностью 8m относительно неизвестных начальных параметров. Решение этой системы дает возможность по формулам (2), (3), (4) определить все компоненты напряженно- деформированного состояния конструкции в любой точке.
Список литературы
1. Бидерман В.П. Прикладная теория механических колебаний. -М.: Высшая школа, 1972, 416 с.
2. Власов В.З. Тонкостенные пространственные системы. - М.: Госстройиздат, 1958 -502с.
3. Вронская Е.С. Расчет призматических оболочек структурным методом начальных параметров. \\ Казахстан. Актобе., 2009г. Материалы 5 Международной научной конференции «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры» С.183-185.
4.
Вронская Е.С. Учет внутреннего трения в динамических расчетах призматических систем. – М., Машиностроение 2007г. В сб. «Актуальные проблемы трибологии» Том 2. С. 127-137.
5.
Еленицкий Э.Я., Вронская Е.С. Нестационарная задача динамики для призматических систем с учетом внутреннего трения. //Изв. вузов. Строительство. - 1998г. N 7.
6.
Еленицкий Э.Я., Дьяченко Ю.П. Свободные колебания прямоугольной пластины ступенчатого сечения с конечной сдвиговой жесткостью. В сб.:”Задачи со свободными границами и нелокальные задачи для нелинейных параболических уравнений”. Киев, институт Математики НАН Украины, 1996, с.17-20.
7.
Еленицкий Э.Я. Расчет свободных колебаний призматических систем с распределенными параметрами. //Изв. вузов. Строительство. - 1996г. N7. С.26-32.
8.
Еленицкий Э.Я., Вронская Е.С. Нестационарная задача динамики для призматических систем с учетом внутреннего трения. //Изв.
вузов. Строительство. - 1998г. N7
9. Еленицкий Э.Я., Вронская Е.С. Расчет перекрытия здания ГЭС структурным методом начальных параметров. Самара. 1998 г. В сб.тр. международной н.т.к. «Численные и аналитические методы расчета конструкций»
10.
Ляв А. Математическая теория упругости. - М.-Л.:ОНТИ , 1935 .
674 с
11. Милейковский И.Е. Расчет оболочек и складок методом перемещений. - М.: Госстройиздат,1960.-357с.
