Новости
09.05.2023
с Днём Победы!
07.03.2023
Поздравляем с Международным женским днем!
23.02.2023
Поздравляем с Днем защитника Отечества!
Оплата онлайн
При оплате онлайн будет
удержана комиссия 3,5-5,5%








Способ оплаты:

С банковской карты (3,5%)
Сбербанк онлайн (3,5%)
Со счета в Яндекс.Деньгах (5,5%)
Наличными через терминал (3,5%)

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА СО СТЕПЕННО-ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

Авторы:
Город:
Нижний Новгород
ВУЗ:
Дата:
16 июня 2018г.

Аннотация. Исследованы решения двумерного гиперболического уравнения в частных производных второго порядка, содержащего произвольные степени от неизвестной функции и ее первых производных, и логарифм от неизвестной функции. С помощью метода разделения переменных найдены некоторые частные решения специального вида для данного уравнения. Получено условие на параметры уравнения, при котором возможно разделение переменных. Исследована зависимость решений от параметров уравнения.

Ключевые слова: уравнение в частных производных, степенная нелинейность, логарифмическая нелинейность, разделение переменных, обыкновенное дифференциальное уравнение.

Введение

Теория нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных является важным направлением современной математической физики [1-3]. Многие современные работы посвящены исследованию уравнений со степенными нелинейностями по искомой функции и ее производным [4- 9,13,14]. Также в ряде работ исследованы решения уравнений с логарифмическими нелинейностями по неизвестной функции и нелинейностями вида u ln u [2,10,11]. Целью данной работы является нахождение решений двумерного гиперболического уравнения второго порядка, содержащего произвольные степени от неизвестной функции и ее первых производных и логарифм от неизвестной функции. В основном разделе статьи представлена общая постановка задачи и получены частные решения рассматриваемого уравнения с помощью метода функционального разделения переменных [1-3,12]. Также получено условие на параметры уравнения, при котором оно допускает разделение переменных. Исследована зависимость  решений от параметров уравнения.

Постановка задачи. Основные результаты

Рассмотрим гиперболическое уравнение в частных производных второго порядка относительно неизвестной функции u(x, y) :

Таким образом, в данной работе исследовано двумерное гиперболическое неавтономное уравнение в частных производных второго порядка со степенно- логарифмической нелинейностью. Доказана теорема, определяющая решения этого уравнения при функциональном разделении переменных, а также исследована зависимость вида решения от параметров уравнения. Результаты работы могут быть обобщены на более сложные уравнения.

 

Список литературы

 

1.        Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. –М.: Физматлит. – 2003. –416 с.

2.        Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения. – М.: Физматлит. – 2002. – 432 с.

3.        Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. – М.: Физматлит. – 2005. –256 с.

4.        Галактионов В.А., Посашков С.А., Свирщевский С.Р. Обобщенное разделение переменных для дифференциальных уравнений с полиномиальными правыми частями // Дифференциальные уравнения. 1995. – Т .31. – № 2. – С.253-261.

5.        Рахмелевич И.В. О двумерных гиперболических уравнениях со степенной нелинейностью по производным // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. –2015.– № 1. – С. 12-19.

6.        Рахмелевич И.В. О многомерных уравнениях в частных производных со степенными нелинейностями по первым производным // Уфимский математический журнал. –– 2017. – Т.9.– № 1. – С. 98-109.

7.        Рахмелевич И.В. О решениях многомерного дифференциального уравнения произвольного порядка со смешанной старшей частной производной и степенными нелинейностями // Владикавказский математический журнал. –2016. – Т.18.–№ 4. – С. 41-49.

8.        Рахмелевич И.В. О редукции многомерных уравнений первого порядка с мультиоднородной функцией от производных // Известия вузов. Математика. – 2016. – № 4. – С.57-67.

9.        Рахмелевич И.В. О решениях многомерного уравнения Клеро с мультиоднородной функцией от производных. // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. – 2014. – Т. 14. –№ 4-1. – С. 374-381.

10.     Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука. – 1987. – 480 с.

11.     Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 1982. – Т.22. –№6. – С.1393-1400.

12.     Полянин А.Д., Журов А.И. Обобщенное и функциональное разделение переменных в математической физике и механике// Доклады РАН. – 2002.–Т. 382. –№ 5. – С.606-611.

13.     Рахмелевич И.В. О псевдополиномиальных решениях двумерного уравнения, содержащего произведение частных производных // Научные ведомости Белгородского университета. Математика. Физика. 2017. Вып. 47, №13. С. 45–50.

14.     Рахмелевич И.В. Многомерное неавтономное уравнение, содержащее произведение степеней частных производных // Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2018.Т. 5 (63). Вып. 1. С. 119–130. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.113