Новости
09.05.2023
с Днём Победы!
07.03.2023
Поздравляем с Международным женским днем!
23.02.2023
Поздравляем с Днем защитника Отечества!
Оплата онлайн
При оплате онлайн будет
удержана комиссия 3,5-5,5%








Способ оплаты:

С банковской карты (3,5%)
Сбербанк онлайн (3,5%)
Со счета в Яндекс.Деньгах (5,5%)
Наличными через терминал (3,5%)

АНАЛИЗ ОДНОЭТАПНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВИРУСОВ

Авторы:
Город:
Рыбинск
ВУЗ:
Дата:
18 декабря 2018г.

Известны математические модели распространения вирусов (червей) в компьютерных сетях. Обзор таких моделей содержится в [5]. В настоящей работе приведен анализ одноэтапной модели, получившей сокращенное обозначение SIR – модель («Susceptible – Infected – Removedmodel»). Предполагается, что в SIR-модели компьютеры могут находиться в следующих состояниях: (S) –компьютер работоспособен, но уязвим для заражения вирусом; (I) – компьютер заражен; (R) – компьютер невосприимчив к заражению данным вирусом. Однако, при одинаковых трех состояниях, возможны различные SIR-модели, отличающиеся переходами из одного состояния в другое.

Обозначим: t – время; количественные характеристики объектов данной модели следующие: N– общее количество компьютеров в сети; S(t) –количество работоспособных компьютеров, уязвимых для заражения данным вирусом; I(t) - количество инфицированных компьютеров; R(t) –количество компьютеров невосприимчивых к заражению данным вирусом.



(1). Явные аналитические зависимости для функций s(t), i(t) для модели (3), в работах [1, 3, 5] не приведены. В других источниках, доступных авторам настоящей работы, явные аналитические выражения для s(t), i(t) также отсутствуют. В [3] при анализе SIR-модели (3) высказано следующее уточнение: «в реальных условиях «иммунитет» посредством установки антивирусного программного обеспечения, межсетевых экранов и «заплат» приобретают не только инфицированные узлы (I), но и уязвимые (S)». При этом принимается допущение, что средняя скорость иммунизации примерно одинакова для уязвимых и инфицированных компьютеров. Данное уточнение при замене термина «скорость» на термин «частота» при N = const приводит к SIR- модели (1).

Получим явные аналитические выражения для S(t), I(t), R(t) для SIR-модели (1). Запишем третье уравнение системы (1) в виде




Теперь найдем явные выражения для функций S(t) и I(t). Вывод этих выражений для функций S(t) и I(t). Вывод этих выражений аналогичен выводу выражений для функций S(t) и I(t) в работе [2], посвященной анализу двухэтапной математической модели распространения компьютерных вирусов.

Однако из-за различных отличий исходных систем уравнений и начальных условий приведем здесь этот вывод полностью.

Запишем первое и второе уравнение системы (1) как отдельную систему



Полученные явные выражения (17) и (18) позволяют определить значения функций S(t) и I(t) для произвольного момента времени t, не прибегая к численному решению системы дифференциальных уравнений. Эти же формулы позволяют производить сравнительный анализ одноэтапной SIR-модели и двухэтапной PSIDR-модели, рассмотренной в работе [2]. Отметим также: несмотря на внешнее сходство формул (17) и (18) с соответствующими выражениями для функций S(t) и I(t) для второго этапа PSIDR- модели, полученными в работе [2], между ними существует различие. Это различие заключается в начальных условиях. В PSIDR-модели длительность первого этапа – конечна. В рассмотренной здесь SIR- модели начальный момент времени t0>0 может быть величиной бесконечно малой, а также возможно значение t0, равное нулю.

 

Список литературы

 

1.    Leveille J. Epidemic spreading in technological networks. Technical report HPL – 2002 – 287, HP Laboratories Bristol, October 2002.

2.    Барашков В.М., Задорина Н.А. Анализ двухэтапной математической модели распространения компьютерных вирусов. Актуальные проблемы технических наук в России и за рубежом./ Сборник научных трудов по итогам научно-практической конференции №5. Новосибирск. – НН: Ицрон, 2018.

3.   Захарченко А.А. Черводинамика: причины и следствия. Защита информации. - Конфидент, 2004, №2, с. 50-55.

4. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976.

5.    Котенко И.В., Воронцов В.В. Аналитические модели распространения сетевых червей. Труды СПИИРАН. Вып. 4. – СПб: Наука, 2007.