ОЦЕНКА ОЖИДАЕМОЙ ДОХОДНОСТИ РОССИЙСКОГО ФОНДОВОГО РЫНКА ПО ИТОГАМ ТОРГОВ НА СРОЧНОМ РЫНКЕ

   Согласно гипотезе эффективного рынка, вся информация, имеющаяся в распоряжении инвесторов, отражается в цене актива. Не являются исключением и ожидания участников рынка относительно доходности того или иного финансового инструмента, которые оказывают существенное влияние на его цену.

   В данной статье проводится анализ динамики валютного курса американского доллара к российскому рублю, индексов ММВБ и РТС, а также цен фьючерсов на эти базисные активы. Проводится сравнение фактической динамики фьючерсных цен с их теоретическими значениями по моделям справедливых фьючерсных цен.

    На основе этих данных предпринята попытка выявить ожидаемую доходность российского фондового рынка, на которую рассчитывали инвесторы за анализируемый период.

1.   Ценообразование на фьючерсные контракты

  Фьючерсом называется производный финансовый инструмент, представляющий собой обязательство покупателя купить, а продавца - продать определенное количество базисного актива в определенный момент в будущем по заранее установленной цене. Условия фьючерсных контрактов устанавливаются биржами в спецификациях этих контрактов. Базисным активом фьючерсов могут выступать акции, разнообразные биржевые индексы, иностранная валюта, драгоценные металлы, товары, процентные ставки и т.д.

   Фьючерсы обращаются на биржах, крупнейшими из которых являются Чикагская товарная биржа (Chicago Mercantile Exchange - CME), Нью-Йоркская товарная биржа (New York Mercantile Exchange - NYMEX), Лондонская биржа металлов (London Metal Exchange - LME) и др. В России фьючерсные контракты обращаются на Московской бирже и Санкт-Петербургской бирже.

    Фьючерсная цена – это цена базисного актива, по которой заключаются фьючерсный контракт. Она может быть выше (contango), ниже (backwardation) или равна (convergence) спот-цене базисного актива. Справедливая фьючерсная цена рассчитывается, исходя из условия отсутствия арбитражных возможностей.

   Рассмотрим базисный актив, по которому не предполагается получение никакого дохода [2, 6]. Пусть r - безрисковая ставка, по которой инвестор может размещать или привлекать средства, S – спот-цена базисного актива, F – фьючерсная цена. Инвестору требуется получить базисный актив в конце периода, например, через год или через три месяца. В таком случае у инвестора есть 2 варианта действий:

1) В начале периода заключить фьючерсный контракт, в конце периода заплатить сумму F;

2) В начале периода занять сумму S по ставке r за период, приобрести актив, а в конце периода вернуть сумму 𝑆(1+𝑟).

Ни один из вариантов не должен быть выгоднее, чем другой. Следовательно, фьючерсная цена базисного актива должна быть равна: 𝐹=𝑆(1+𝑟).

В том случае, когда это не так, возможно совершение арбитражной операции, т.е. получение без риска доходности, превосходящей безрисковую ставку r:

1) Если 𝐹>𝑆(1+𝑟), то арбитражер в начале периода занимает сумму S по ставке r, покупает базисный актив и заключает фьючерсный контракт на его продажу. В конце периода он исполняет контракт, получает сумму F и возвращает сумму 𝑆(1+𝑟). Величина 𝐹−𝑆(1+𝑟) составит прибыль арбитражера.

2) Если 𝐹>𝑆(1+𝑟), то в начале периода следует совершить короткую продажу базисного актива, разместить полученную сумму S по ставке r и заключить фьючерсный контракт на покупку. В конце периода арбитражер исполняет фьючерсный контракт, возвращает базисный актив, а величина 𝑆(1+𝑟)−𝐹 составит его прибыль.

  В реальности условия привлечения и размещения денежных средств для каждого участника рынка различны. Иными словами, для i-го инвестора существуют свои ставки 𝑟𝑐𝑖 и 𝑟𝑑𝑖, по которым он может, соответственно, привлекать и размещать денежные средства. Однако можно предположить, что ценообразование фьючерсов происходит исходя из некоторой средней по рынку ставки 𝑟𝑀. Получение арбитражной прибыли возможно, когда 𝑟𝑐𝑖<𝑟𝑀 или когда 𝑟𝑑𝑖>𝑟𝑀.

   Пусть теперь по базисному активу предполагается получение непрерывной доходности по ставке d за период. Из тех же соображений, что и в предыдущем случае, следует, что справедливая фьючерсная цена равна: 𝐹=𝑆(1+𝑟−𝑑).

    К подобным активам можно отнести, например, акции или портфели акций, в т.ч. паи ПИФов и фондовые индексы [10] и т.д. Хотя дивиденды выплачиваются российскими компаниями 1 раз в год, известно [2, 9], что цена акций за период возрастает на величину накопленного дивиденда. В частности, об этом свидетельствует тот факт, что цена акции снижается на величину объявленного дивиденда сразу после даты закрытия реестра: следовательно, величина дивиденда была учтена в цене акции до даты закрытия реестра. Разумеется, пока величина дивиденда не объявлена, можно говорить лишь об ожидаемой дивидендной доходности d или, шире, ожидаемой доходности актива или рынка в целом.

Как и в случае с безрисковой ставкой, у каждого инвестора свои представления о доходности акции или фондового индекса. Однако можно предположить, что рыночная цена фьючерсов образуется исходя из некоторой величины d, представляющей собой общее мнение рынка об ожидаемой доходности того или иного актива.

Рассмотрим теперь ценообразование фьючерсов на иностранную валюту [8, 9]. Основным соотношением здесь является паритет процентных ставок: инвестор должен получать одинаковый доход от размещения средств как в национальной валюте (например, в российских рублях) по ставке 𝑟_𝑅𝑈𝐵, так и в иностранной валюте (например, в американских долларах) по ставке 𝑟𝑈𝑆𝐷. Пусть S – спот-курс (например, USD/RUB). У инвестора есть 2 варианта действий:

1) Разместить сумму S руб. на рублевом депозите. В конце периода у инвестора будет 𝑆(1+𝑟_𝑅𝑈𝐵) рублей.

2) Конвертировать сумму S руб. в 1 доллар, разместить его на долларовом депозите, а в конце периода конвертировать полученную сумму (1+𝑟_𝑈𝑆𝐷) долл. в рубли по фьючерсному курсу F. В итоге у инвестора будет сумма 𝐹(1+𝑟_𝑈𝑆𝐷) руб.

Оба варианта должны давать одинаковый результат, поскольку в противном случае возникнет возможность совершения арбитражных операций. Тогда справедливый фьючерсный курс американского доллара равен:

Отметим, что ставки 𝑟_𝑅𝑈𝐵 и 𝑟_𝑈𝑆𝐷 для каждого участника рынка также различны, а реальный фьючерсный курс образуется исходя из некоторого среднего для рынка отношения (1+𝑟_𝑅𝑈𝐵)/(1+𝑟_𝑈𝑆𝐷).

В случае если 𝑟,𝑑, 𝑟_𝑅𝑈𝐵,𝑟_𝑈𝑆𝐷– годовые процентные ставки, в начальный момент времени до исполнения контракта остается T дней, а t – число дней, прошедшее с начального момента, то фьючерсная цена меняется следующим образом:

в зависимости от базисного актива, лежащего в основе фьючерсного контракта.

2. Эконометрическая оценка параметров моделей ценообразования фьючерсных контрактов

В данной статье рассматриваются 3 базисных актива: американский доллар (USD), фондовый индекс ММВБ (MICEX) и фондовый индекс РТС (RTSI). Анализируемые нами фьючерсы на данные базисные активы имеют датой экспирации 15 сентября 2015 года и рассматриваются за период наиболее активных торгов по этим инструментам – последние три месяца до экспирации (с 15 июня до 15 сентября 2015 года). Нами используются данные с сайта Московской Биржи (moex.com). Фьючерсные цены обозначим как FUSD, FMICEX и FRTSI, соответственно. Значения процентных ставок 𝑟_𝑅𝑈𝐵,𝑟_𝑈𝑆𝐷 и ожидаемой доходности d предполагаются постоянными на протяжении всего анализируемого периода.

Рассмотрим ценообразование фьючерсов на американский доллар. На Рисунке 1 представлены значения спот-курса и фьючерсного курса американского доллара к российскому рублю за период с 15.09.2015 по 15.09.2015 на момент 10:00 по московскому времени (T = 94 – дней в рассматриваемом периоде, t = 1, …, 93 – число дней, прошедших с начала периода).

Рис.1. Значения спот-курса и фьючерсного курса американского доллара за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года

Фьючерсный курс большую часть рассматриваемого периода находятся в состоянии контанго, следовательно, рублевая ставка 𝑟_𝑅𝑈𝐵 превосходит долларовую ставку 𝑟_𝑈𝑆𝐷. В начале периода разрыв между фьючерсным и спот-курсом наибольший, а в конце периода он уменьшается практически до нуля. Модель ценообразования фьючерсов на американский доллар имеет вид:

где 𝑟_𝑅𝑈𝐵 и 𝑟_𝑈𝑆𝐷 – безрисковые ставки (% в год) в рублях и долларах, E1 – ошибка модели, а величина 𝑅1 определяется по формуле:

Прологарифмируем левую и правую части модели:

В результате получим форму линейной регрессионной модели без константы:

где 𝜀1 - ошибка модели.

Оценив зависимость разности логарифмов (ln𝐹𝑈𝑆𝐷−ln𝑈𝑆𝐷) от срока до экспирации в годах (𝑇−𝑡)/365, получим значение ln𝑅1 и границы 95%-ного доверительного интервала. На Рисунке 2 и в Табл.1 представлены результаты регрессионного анализа.

Рис.2. Зависимость разности логарифмов (ln𝐹𝑈𝑆𝐷−ln𝑈𝑆𝐷) от срока до экспирации в годах (𝑇−𝑡)/365

Таблица 1 Результаты регрессионного анализа для спот-курса и фьючерсного курса американского доллара к российскому рублю

Модель: (ln𝐹𝑈𝑆𝐷−ln𝑈𝑆𝐷)=0,111352 (𝑇−𝑡)/365+𝜀1
Стандартная ошибка коэффициента	0,00428858
Значение t-статистики	25,96
p-value для t-статистики	5,00*10-36
95%-ный доверительный интервал	(0,10295, 0,11976)
Коэффициент детерминации R2	0,912064
Значение F-статистики	674,1722
p-value для F-статистики	5,00*10-36

Полученная модель объясняет 91,2% изменчивости логарифмов (ln𝐹𝑈𝑆𝐷−ln𝑈𝑆𝐷). Коэффициент модели значимо (на уровне 0,01) отличен от нуля. Интервал (0,10295, 0,11976) с вероятностью 95% покрывает истинное значение ln𝑅1. Следовательно, истинное значение 𝑅1 с вероятностью 95% лежит в интервале (1,10843, 1,12722):


Рассмотрим теперь значения индекса ММВБ и фьючерсные значения этого индекса за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года (анализ внутридневной динамики индексов ММВБ и РТС см. в [4]), которые представлены на Рисунке 3.


Рис.3. Значения индекса ММВБ и фьючерсные значения индекса ММВБ за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года

Фьючерсные значения индекса ММВБ в течение периода с 15 июня по 15 сентября 2015 года находились как в состоянии контанго, так и в состоянии бэквордации. Это можно объяснить тем, что безрисковая ставка 𝑟𝑅𝑈𝐵 и ожидаемая доходность 𝑑 имеют близкие значения. Модель ценообразования фьючерсных цен на этот индекс имеет вид:


где 𝐸2 – ошибка модели, а величина 𝑅1 определяется по формуле: 𝑅2=(1+𝑟𝑅𝑈𝐵−𝑑).
Логарифмируя левую и правую части модели, получим форму линейной регрессионной модели без константы:


где 𝜀2 - ошибка модели.
Оценив зависимость разности логарифмов (ln𝐹𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋−ln𝑀𝐼𝐶𝐸𝑋) от срока до экспирации в годах (𝑇−𝑡)/365, получим значение ln𝑅2 и границы 95%-ного доверительного интервала. На Рисунке 4 и в Табл.2 представлены результаты регрессионного анализа [5, 7].


Рис.4. Зависимость разности логарифмов (𝐥𝐧𝑭𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿−𝐥𝐧𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿) от срока до экспирации в годах (𝑻−𝒕)/𝟑𝟔𝟓

Таблица 2 Результаты регрессионного анализа для значений индекса ММВБ и фьючерсных значений индекса ММВБ

Модель: (𝐥𝐧𝑭𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿−𝐥𝐧𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿)=𝟎,𝟎𝟐𝟏𝟕𝟗𝟒𝟓 (𝑻−𝒕)/𝟑𝟔𝟓+𝜺𝟐
Стандартная ошибка коэффициента	0,00519852
Значение t-статистики	4,192
p-value для t-статистики	8,39*10-5
95%-ный доверительный интервал	(0,01161, 0,03198)
Коэффициент детерминации 𝑹𝟐	0,210305
Значение F-статистики	17,57659
p-value для F-статистики	8,39*10-5

       Модель объясняет лишь 21% изменчивости разности логарифмов (𝐥𝐧𝑭𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿−𝐥𝐧𝑴𝑰𝑪𝑬𝑿). Невысокие значения коэффициента детерминации можно объяснить как малыми значениями коэффициента 𝐥𝐧(𝟏+𝒓𝑹𝑼𝑩−𝒅), так и сложностью совершения арбитражных операций, поскольку базисным активом является фондовый индекс, рассчитываемый по ценам акций 50 российских компаний. Как мы увидим в дальнейшем, основной причиной является все же близкое к нулю значение 𝐥𝐧(𝟏+𝒓𝑹𝑼𝑩−𝒅), поскольку для индекса РТС аналогичная модель характеризуется большим значением коэффициента детерминации. Тем не менее, тест Фишера показывает значимость регрессии (на уровне 0,01).
     Коэффициент модели 0,0217945 значимо (на уровне 0,01) отличен от нуля. Интервал (0,01161, 0,03198) с вероятностью 95% покрывает истинное значение 𝐥𝐧𝑹𝟐. Следовательно, истинное значение 𝑹𝟐 с вероятностью 95% лежит в интервале (1,01167, 1,0325): 𝟏,𝟎𝟏𝟏𝟔𝟕<(𝟏+𝒓𝑹𝑼𝑩−𝒅)<𝟏,𝟎𝟑𝟐𝟓𝟎.
       Наконец, рассмотрим динамику индекса РТС и фьючерсных значений этого индекса за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года. Эти данные представлены на Рисунке 5. Заметим, что индекс РТС рассчитывается по долларовым ценам акций тех же самых компаний и с теми же весовыми коэффициентами, что и индекс ММВБ. Следовательно, если в модели для индекса ММВБ используется d – ожидаемая доходность рынка в рублях, то в модели для индекса РТС в качестве ожидаемой доходности рынка в долларах следует использовать величину 𝒅/𝑹𝟏.


Рис.5. Значения индекса РТС и фьючерсные значения индекса РТС за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года

  Фьючерсные значения индекса РТС большую часть рассматриваемого периода находятся в состоянии бэквордации, что можно объяснить тем, что безрисковая долларовая ставка 𝒓𝑼𝑺𝑫 значительно ниже ожидаемой доходности 𝒅/𝑹𝟏. Модель ценообразования фьючерсных цен на этот индекс имеет вид:


где 𝑬𝟑 - ошибка модели, а величина 𝑹𝟑 определяется по формуле:
𝑹𝟑=(𝟏+𝒓𝑼𝑺𝑫−𝒅/𝑹𝟏).
Как и ранее, после логарифмирования получим форму линейной регрессионной модели без константы:

где 𝜺𝟑 - ошибка модели.
Оценив зависимость разности логарифмов (𝐥𝐧𝑭𝑹𝑻𝑺𝑰−𝐥𝐧𝑹𝑻𝑺𝑰) от срока до экспирации в годах (𝑻−𝒕)/𝟑𝟔𝟓, получим значение 𝐥𝐧𝑹𝟑 и границы 95%-ного доверительного интервала. На Рисунке 6 и в Табл.3 представлены результаты регрессионного анализа.


Рис.6. Зависимость разности логарифмов (𝐥𝐧𝑭𝑹𝑻𝑺𝑰−𝐥𝐧𝑹𝑻𝑺𝑰) от срока до экспирации в годах (𝑻−𝒕)/𝟑𝟔𝟓


Таблица 3 Результаты регрессионного анализа для значений индекса РТС и фьючерсных значений индекса РТС

Модель: (𝐥𝐧𝑭𝑹𝑻𝑺𝑰−𝐥𝐧𝑹𝑻𝑺𝑰)=−𝟎,𝟎𝟗𝟓𝟗𝟔𝟖𝟐 (𝑻−𝒕)/𝟑𝟔𝟓+𝜺𝟑
Стандартная ошибка коэффициента	0,00685165
Значение t-статистики	-14,01
p-value для t-статистики	1,92*10-21
95%-ный доверительный интервал	(-0,10939, -0,08254)
Коэффициент детерминации 𝑹𝟐	0,748269
Значение F-статистики	196,1846
p-value для F-статистики	1,92*10-21

Полученная модель объясняет 74,8% изменчивости логарифмов (𝐥𝐧𝑭𝑹𝑻𝑺𝑰−𝐥𝐧𝑹𝑻𝑺𝑰), что намного выше, чем аналогичный показатель для модели фьючерсных значений индекса ММВБ. Коэффициент модели значимо (на уровне 0,01) отличен от нуля. Интервал (-0,10939, -0,08254) с вероятностью 95% покрывает истинное значение 𝐥𝐧𝑹𝟑. Следовательно, истинное значение 𝑹𝟑 с вероятностью 95% лежит в интервале (0,89637, 0,92077): 𝟎,𝟖𝟗𝟔𝟑𝟕<𝟏+𝒓𝑼𝑺𝑫−𝒅/𝑹𝟏<𝟎,𝟗𝟐𝟎𝟕𝟕.
Получив оценки величин 𝑹𝟏,𝑹𝟐,𝑹𝟑, запишем систему уравнений, связывающую значения этих величин с безрисковыми ставками 𝒓𝑹𝑼𝑩,𝒓𝑼𝑺𝑫 и ожидаемой доходности российского фондового рынка d: 𝒓𝑹𝑼𝑩−𝑹𝟏𝒓𝑼𝑺𝑫=𝑹𝟏−𝟏
𝒓𝑹𝑼𝑩−𝒅=𝑹𝟐−𝟏
 𝒓𝑼𝑺𝑫−𝒅/𝑹𝟏=𝑹𝟑−𝟏
или в матричной форме:

Определитель матрицы системы равен нулю Δ =𝟎, поэтому однозначно найти значения 𝒓𝑹𝑼𝑩,𝒓𝑼𝑺𝑫 и d непосредственно из данной системы невозможно. Потребуется задать значение одного из этих показателей, чтобы вычислить значения двух оставшихся.
Однако с помощью этой системы можно уточнить значения величин 𝑹𝟏,𝑹𝟐,𝑹𝟑. Заметим, что вторая строка матрицы системы является суммой первой строки и третьей строки, умноженной на 𝑹𝟏. Следовательно, чтобы система была совместной, должно выполняться то же самое условие для столбца свободных членов: (𝑹𝟐−𝟏)= (𝑹𝟏−𝟏)+𝑹𝟏(𝑹𝟑−𝟏)
или (𝑹𝟏−𝟏)−(𝑹𝟐−𝟏)+𝑹𝟏(𝑹𝟑−𝟏)=𝟎.
Пусть 𝑹̂ 𝟏,𝑹̂ 𝟐,𝑹̂ 𝟑 - оценки величин 𝑹𝟏,𝑹𝟐,𝑹𝟑, полученные по регрессионным моделям, рассмотренным нами ранее. Выберем величины 𝑹𝟏,𝑹𝟐,𝑹𝟑 такими, чтобы они были как можно ближе к оценкам 𝑹̂ 𝟏,𝑹̂ 𝟐,𝑹̂ 𝟑, лежали внутри 95%-ных доверительных интервалов, а рассмотренная ранее система была совместной. Для этого решим следующую оптимизационную задачу:


при следующих ограничениях: (𝑹𝟏−𝟏)−(𝑹𝟐−𝟏)+𝑹𝟏(𝑹𝟑−𝟏)=𝟎,
𝟏,𝟏𝟎𝟖𝟒𝟑<𝑹𝟏<𝟏,𝟏𝟐𝟕𝟐𝟐,
𝟏,𝟎𝟏𝟏𝟔𝟕<𝑹𝟐<𝟏,𝟎𝟑𝟐𝟓𝟎,
𝟎,𝟖9637<𝑅3<0,92077.
В Табл.4 представлены полученные оптимальные оценки величин 𝑅1,𝑅2,𝑅3.

Таблица 4 Оценки величин 𝑅1,𝑅2,𝑅3.


Эти оценки мы и будем использовать в дальнейшем для получения оценок ставок 𝑟𝑅𝑈𝐵,𝑟𝑈𝑆𝐷и ожидаемой доходности d.

  

1.   Оценка безрисковых ставок и ожидаемой доходности российского фондового рынка

Как было сказано ранее, требуется задать одну из ставок rRUB , rUSD или d, чтобы рассчитать значения двухоставшихся. Непосредственно оценить ожидаемую дивидендную доходность d, например, путем опросаэкспертов, представляется весьма сложной задачей. Значительно проще задать одну из безрисковых ставок:

рублевую rRUB  или долларовую rUSD.

В качестве безрисковой ставки в  различных источниках предлагается использовать либо доходности государственных облигаций [1], либо процентные ставки межбанковского рынка кредитов.

На Рисунке 7 представлена динамика краткосрочных ставок рынка ГКО-ОФЗ (информация взята с сайта ЦБ РФ: www.cbr.ru) в течение рассматриваемого периода.

Рис.7. Краткосрочные процентные ставки рынка ГКО-ОФЗ за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года
    В качестве 1+𝑟𝑅𝑈𝐵 можно было бы взять среднее геометрическое [3] величин 1+𝑟ГКО за рассматриваемый период. Тогда рублевая безрисковая ставка 𝑟𝑅𝑈𝐵 составляла бы 10,39%, что противоречило бы нашему предшествующему анализу: поскольку 𝑅1=1,11972, долларовая безрисковая процентная ставка 𝑟𝑈𝑆𝐷 должна была бы быть отрицательной. Следовательно, реальная безрисковая ставка 𝑟𝑅𝑈𝐵 за анализируемый период превышала среднюю ставку рынка ГКО-ОФЗ 10,39%.
    Использование ставок московского межбанковского рынка кредитов оказывается более приемлемым. На Рисунке 8 представлены значения 3-месячных рублевых ставок по привлечению московскими банками кредитов (MIBID), ставок по размещению московскими банками кредитов (MIBOR), а также среднего значения (MIBID+MIBOR)/2 (информация взята с сайта ЦБ РФ: www.cbr.ru).



Рис.8. Динамика 3-месячных рублевых ставок MIBID, MIBOR и их среднего в течение периода с 15 июня по 15 сентября

  Для анализируемого периода средние геометрические значений 1+MIBID, 1+MIBOR и 1+(MIBID+MIBOR)/2 составляют 1,1159, 1,1307 и 1,1233 соответственно.
На Рисунке 9 представлены значения 3-месячных долларовых ставок по привлечению московскими банками кредитов (MIBID), ставок по размещению московскими банками кредитов (MIBOR), а также среднего значения (MIBID+MIBOR)/2.


Рис.9. Динамика 3-месячных долларовых ставок MIBID, MIBOR и их среднего в течение периода с 15 июня по 15 сентября

  Средние геометрические значений 1+MIBID, 1+MIBOR и 1+(MIBID+MIBOR)/2 для долларовых ставок московского межбанковского рынка составляют 1,00678, 1,01394, 1,01037 соответственно.
Рассчитанные ставки MIBID, MIBOR и (MIBID+MIBOR)/2 в рублях и долларах приведены в Табл.5.

Таблица 5 Средние ставки MIBID, MIBOR и (MIBID+MIBOR)/2 в рублях и долларах за период с 15 июня по 15 сентября, % в год




     В качестве оценок безрисковых ставок 𝑟𝑅𝑈𝐵,𝑟𝑈𝑆𝐷, действующих в рассматриваемый период на российском фондовом рынке, можно взять решения следующей оптимизационной задачи: (𝑟𝑅𝑈𝐵−𝑟̂𝑅𝑈𝐵)2+(𝑟𝑈𝑆𝐷−𝑟̂𝑈𝑆𝐷)2→𝑚𝑖𝑛
при следующих ограничениях: (1+𝑟𝑅𝑈𝐵)/(1+𝑟𝑈𝑆𝐷)=𝑅1=1,11972, 0,1159<𝑟𝑅𝑈𝐵<0,1307, 0,00678<𝑟𝑈𝑆𝐷<0,01037.
В результате получаем следующие оценки безрисковых ставок:
𝑟𝑅𝑈𝐵=12,73% и 𝑟𝑈𝑆𝐷=0,68%.
    Используя эти ставки, возможно, наконец, оценить годовую доходность российского фондового рынка, которую ожидали получить участники рынка за период с 15 июня по 15 сентября 2015 года: 𝑑=1+𝑟𝑅𝑈𝐵−𝑅2.
Таким образом, d = 10,75% - оценка доходности (% в год) в рублях российского фондового рынка, которая ожидалась инвесторами в период с 15 июня по 15 сентября 2015 года. Соответственно, ожидаемая доходность в долларах за тот же период составляет 𝑑/𝑅1 = 9,59 %.
Заключение
    В работе проведена эконометрическая оценка параметров моделей ценообразования фьючерсного курса доллара к рублю и фьючерсных значений индексов ММВБ и РТС.
    Было установлено, что в качестве безрисковых рублевых и долларовых ставок, принимаемых участниками российского фондового рынка в качестве таковых, целесообразнее использовать ставки московского межбанковского рынка кредитов, а не краткосрочные ставки рынка ГКО-ОФЗ.
На основе этих моделей была оценена ожидаемая доходность (в годовом выражении) российского фондового рынка.

Список литературы
1. Бухвалов А.В., Дорофеев Е.А., Окулов В.Л. Лекции по избранным вопросам классических финансовых моделей. – СПб.: Изд-во «Высшая школа менеджмента», 2015. – 352 с.
2. Ван Хорн Д., Вахович Д. Основы финансового менеджмента. – М.: «И.Д. Вильямс», 2010. – 1232 с.
3. Колодко Д.В. Мониторинг валютного рынка Forex с помощью различных типов скользящих средних // Электронный научный журнал «Управление экономическими системами» №1, 2013. – с. 17. URL: http://uecs.ru/index.php?option=com_flexicontent&view=items&id=1958
4. Колодко Д.В. Стабильные агрегированные валюты как инструмент анализа капитализации российского фондового рынка // Международный экономический симпозиум – 2015. Материалы Международных научных конференций, посвященных 75-летию экономического факультета Санкт-Петербургского государственного университета: сборник статей. — СПб.: Изд-во Скифия-принт, 2015, с. 263 - 279.
5. Куфель Тадеуш. Эконометрика. Решение задач с применением пакета программ GRETL. – М.: Горячая линия–Телеком, 2007. – 200 c.
6. Люу Ю.-Д. Методы и алгоритмы финансовой математики. - М.: Бином; Лаборатория знаний, 2007. – 751 с.
7. Носко В.П. Эконометрика, ч. 2. Регрессионный анализ временных рядов. М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2011. – 672 с.
8. Халл Д. К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. – М.: Издательский дом «Вильямс», 2007. - 1056 с.
9. Шарп У., Александер Г., Бэйли Дж. Инвестиции: Пер с англ. – М.: ИНФРА-М, 2009. – 1028 с.
10. Ширяев А.Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 1. Факты. Модели. - М.: ФАЗИС, 1998. - 544 с.