13 января 2016г.
Анализ и прогнозирование временных рядов, описывающих социально-экономические процессы, является достаточно развитым направлением экономико-математического анализа данных [1-9]. Основной задачей прогнозирования является построение модели, обеспечивающей прогноз на определенный временной интервал при условии сохранения действующих в исследуемой экономической системе тенденций и внутренних связей с указанием степени его достоверности.
Для краткосрочных прогнозов динамики социально-экономических показателей обычно применяются так называемые адаптивные модели [1, 2, 4, 7], учитывающие в большей степени (по сравнению с исторической ретроспективой) влияние на исследуемые факторы «последних» событий. Прогнозирование в этом случае осуществляется путем экстраполяции на основании точной математической модели, которой удовлетворяют одно или несколько "последних" наблюдаемых экспериментальных данных. По мере получения новых экспериментальных данных происходит корректировка параметров адаптивной модели.
Однако для консервативных инерционных систем, по всей видимости, имеет смысл прогнозировать динамику временного ряда на основании «длинного» тренда, т.к. для таких систем влияние нефундаментальных краткосрочных воздействий может рассматриваться как случайное [2, 3, 6]. Несмотря на то, что недостатком чисто статистических регрессионных моделей является увеличение времени расчетов по мере накопления экспериментальных данных [8], для технического прогнозирования фундаментальных социально-экономических показателей это не является критичным в силу высокой инерционности соответствующих процессов [5]. Такой «трендовый» подход позволяет выявлять тенденции, связанные с изменениями технологий производства и производственной культуры, т.к. именно уровень технологического развития в значительной степени определяет валовой внутренний продукт государства на исторической перспективе.
При построении экономико-математических моделей обычно выделяют трендовую, циклическую и случайную составляющие временного ряда [1, 2]. Трендовая и циклическая компоненты призваны описывать соответственно основную непериодическую и основную периодическую тенденции в динамике рассматриваемого временного ряда.
С точки зрения социально-экономических процессов наиболее адекватными были бы ограниченные сверху и снизу тренды двух типов: определенные на конечном множестве значений аргумента для описания процессов с четко заданным началом и концом, и определенные на всей числовой прямой для описания теоретически бесконечных во времени процессов. Ограниченными по области допустимых значений аргумента являются, например, гиперболические выражения вида
и обратные тригонометрические функции вида arcсos(t).
Определенными по аргументу на всей числовой прямой, но ограниченными по области значений функции, являются, например, непериодические функции вида exp(- t 2 ) и arctg(t). Другой класс ограниченных функций образует совокупность периодических функций, представимых (за счет разложения в ряд Фурье) в виде линейной комбинации функций sin(t) и cos(t) кратных частот.
Наиболее популярным неспециализированным программным средством прогнозирования динамики временных рядов является Microsoft Excel. Дело в том, что специализированные программные средства являются весьма дорогостоящими, при этом, однако, в ряде случаев они не обеспечивают столь значительного превосходства качества прогноза, на которое можно было бы рассчитывать, исходя из стоимости их приобретения и обслуживания. Однако встроенные статистические инструменты MSExcel необходимо применять с некоторой осторожностью, т.к. в силу универсальности, они не ориентированы на оценку возможности социально-экономической интерпретации полученных результатов.
Для решения задачи прогнозирования наиболее пригодными являются простые тренды с наименьшим количеством управляющих параметров, так как для них проще всего производить расчеты и интерпретировать полученные результаты (что и объясняет популярность MSExcel). Недостатком таких моделей является заведомая потеря адекватности модели по мере удаления от области, в которой представлены экспериментальные данные. Более того, сама логика социально-экономических процессов предполагает конечное число значений исследуемой величины, из чего должна следовать обязательная корректировка моделей «простых» трендов по мере поступления новых экспериментальных данных.
При определенных значениях управляющих параметров на ограниченном наборе значений независимой переменной любая нелинейная трендовая функция с той или иной степенью адекватности описываются классическими «встроенными» трендами MSExcel за счет возможности разложения этих выражений в ряд Тейлора. Однако обсуждаемые ограниченные трендовые функции более обоснованы с точки зрения логики социально-экономических процессов, т.к. не предполагают возможности бесконечно большого возрастания зависимой переменной при увеличении значений независимой переменной.
Для демонстрации возможности применения некоторых дополнительных инструментов MSExcel к прогнозированию социально экономических временных рядов мы рассмотрели поквартальную динамику валового внутреннего продукта Российский Федерации в период с 1995 по 2009 годы и построили прогноз значений ВВП РФ на 2010-2019 годы [9]. При прогнозировании на 2010-2015гг. мы воспользовались данными Федеральной службы государственной статистики для верификации результатов прогноза.
На Рисунке 1 представлены результаты статистических наблюдений (кружочки) и аппроксимация этих данных «встроенными» трендами MSExcel (линии разных типов) для периода 1995-2009гг. На Рисунке 2 представлены результаты прогноза ВВП на 2010-2020гг. на основании «лучших» четырех из рассмотренных моделей.
Рис.1. Статистические наблюдения и результаты аппроксимации.
Рис.2. Результаты прогнозирования ВВП РФ.
Оказалось, что если определить достоверность прогноза как коэффициент детерминации, вычисленный за период времени, на который осуществляется прогнозирование, то при попытке экстраполяции на существенно продолжительный период времени ни один из двупараметрических трендов не
может
(исходя из
экономического смысла задачи) обеспечить достоверных результатов прогноза без ежеквартальной (или хотя бы ежегодной) корректировки модели. Достоверность прогноза с помощью полиномиального тренда второго порядка (квадратичной модели) составила ~43%. Наиболее существенным недостатком полиномиальных моделей в целом (в частности, квадратичной модели) является неограниченность роста значений соответствующих функций при достаточно больших значениях аргумента, что противоречит экономическому смыслу решаемой задачи.
В качестве альтернативы квадратичной модели мы выбрали простую трёхпараметрическую тригонометрическую модель y = A × cos(2 ×p × t/ T )+ B , параметры которой подобрали с помощью надстройки «Поиск решений». Достоверность прогноза с помощью выбранного тригонометрического тренда составила ~67%. Причём качество аппроксимации данных за период с 1995 по 2009 год этой моделью оказалось даже несколько более низким, чем для
полиномиальной и экспоненциальной трендовых функций, что, однако, никак не повлияло на более высокое качество прогноза (см. Табл.1).
Таблица 1 Сравнительный анализ качества аппроксимации и достоверности прогноза обрабатываемых статистических данных.
|
№
|
Название
|
Модель
|
Параметры
|
Коэффициент
детерминации
|
Достоверность
прогноза, %
|
|
1
|
Линейный
|
y = A + B × t
|
A = -1700±300
B
= 184±8
|
0,8926
|
0
|
|
2
|
Экспоненциальный
|
y = A
× exp (B × t)
|
A = 340±20
B
= 0,063±0,002
|
0,9740
|
0
|
|
3
|
Квадратичный
|
y = A × t 2 + B × t + C
|
A = 3,5±0,3
B = -30±20 C=500±200
|
0,9724
|
43
|
|
4
|
Тригонометрический
|
y
= A
× cos(2 ×p × t /T )+ B
|
A=-(391±9)·103
T=1590±30 B=(391±9)·103
|
0,9719
|
67
|
Таким образом, мы полагаем, что для долгосрочного прогнозирования динамики социально- экономических процессов и явлений без применения специализированного программного обеспечения необходимо использовать нелинейные тренды, ограниченные по области значений функции и/или по области допустимых значений аргумента (в зависимости от деталей постановки задачи), управляющие параметры которых могут быть оценены с помощью надстройки «Поиск решения» «традиционного» программного обеспечения MSExcel.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 13-07-00516).
Список литературы
1.
M.Falk. A First Course on Time Series Analysis // University of Wuizburg, 2012.
2.
G.Kitagawa. Introduction to Time Series Modeling//Chapman and Hall/CRC, 2010
3.
Rytikov G.O., Ulianov M.V., Petrushin V.N. Double smoothing in time series formalization // В сборнике: 2014 International conference on computer technologies in physical and engineering applications (ICCTPEA); IEEE. 2014. С. 150-151.
4.
Голинков Ю.П., Марголин Л.Н., Рудяк Ю.В. База данных эконометрического анализа книжного рынка // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2007. № 1. С. 181-189.
5.
Петрушин В.Н., Дроздов С.А., Рытиков Г.О. Выявление периодичности и прогнозирование временных рядов в экономике // Cloud of Science. 2015. Т.2. №2. С.247-264.
6.
Петрушин В.Н., Рытиков Г.О., Королев Д.А. Моделирование жизненного цикла книжной продукции // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2014. № 2. С. 160-167.
7.
Петрушин В.Н., Рытиков
Г.О. Адаптивно-вероятностная модель
прогнозирования временных рядов // Известия высших учебных заведений. Проблемы полиграфии и издательского дела. 2013. № 5. С. 125-140.
8. Петрушин В.Н., Ульянов М.В. Информационная чувствительность компьютерных алгоритмов. — М.:Физматлит, 2010. — 224 с
9. Сайт «Федеральной службы государственной статистики»// http://www.gks.ru/wps/wcm/connect/rosstat_main/rosstat/ru/statistics/accounts/#
