У любой страховой компании в конце каждого отчетного периода определяются два вида убытков неопределенного размера. Эти убытки заявлены, но окончательно не урегулированы, поэтому в каждом таком случае для отражения в отчетности и резервирования средств будущих выплат необходим прогноз окончательного размера убытка. Также эти убытки могут быть заявлены, но заявлений по ним еще нет. Резерв произошедших, но незаявленных убытков в России называется сокращенно РПНУ. Западный аналог такого названия — IBNR-резервы.

   Обязанность формирования РПНУ предусмотрена страховым законодательством. Страховые компании вправе разрабатывать и применять методы расчета РПНУ на основе имеющихся статистических данных.

   Правильность оценки РПНУ существенна для страховщика. Завышенная оценка требует адекватного размера актива в покрытие резерва, а заниженная оценка может привести к нехватке средств на страховые выплаты.

   В балансе страховой компании РПНУ как обязательства страховщика перед клиентами входит в состав пассивов. Оценка РПНУ оказывает влияние на следующее:

—    налогооблагаемую базу (уменьшается с ростом РПНУ);

—    величину необходимых активов для обеспечения обязательств РПНУ;

—    на расчеты с перестраховочными компаниями;

—    тарифную политику (корректировка тарифов на основе оценки РПНУ);

—    расчеты с акционерами (рост РПНУ уменьшает дивиденды);

—    платежеспособность;

—    финансовую устойчивость.

   Для поздних убытков характерны позднее обнаружение и переоценка размера убытка. Например, ошибка архитектора, проектировщика, промышленного производителя может быть замечена только спустя долгое время после ее совершения.

    Причина долгого периода урегулирования после обнаружения страхового случая и заявления о нем страховщику может быть обусловлена, например, исходом судебного процесса или длительным лечением и т. д.

Оценка размера РПНУ производится на основе данных, организуемых в форме треугольника исчерпания. Общая форма треугольника развития: строка — год события; столбец — год развития: 𝑌𝑖𝑗 — суммарные выплаты в -м году развития по убыткам, произошедшим в 𝑖-м году события (Рисунок 1).

Рис.1. Общая форма треугольника развития

Здесь 𝑅𝑖 — размер резерва позднего убытка для -го года событий, 𝑃𝑖 = П𝑖 — мера объема 𝑖-го года событий (страховая сумма, количество полисов, количество транспортных средств, совокупная премия по рискам 𝑖-го года событий и т. д.), -совокупный размер известных убытков в год развития 𝑗 по всем годам событий, совокупный размер известных убытков в год события 𝑖 по всем годам развития.

   Цель любых математических методов — оценить неизвестную часть 𝑅𝑖=𝑌𝑖,𝐼+2−𝑖+𝑌𝑖,𝐼+3−𝑖+⋯+𝑌𝑖,𝐼.

   Кумулятивный треугольник развития: на месте (𝑖,𝑗) стоит не приращение 𝑌𝑖𝑗 убытков за -й год развития, а аккумулированный размер убытков 𝐶𝑖𝑗=𝑌𝑖1+𝑌𝑖2+⋯𝑌𝑖𝑗.

   Развитие первого года события предполагается полностью завершенным, то есть показатели 𝑌1,𝐼+1, 𝑌2,𝐼+2, ... и так далее все считаются равными нулю. По прошествии каждого года треугольник развития приобретает только новую гипотенузу, значения которой 𝑌𝐼,1,𝑌𝐼−1,2,…𝑌𝐼,1 соответствуют последнему календарному году.

   Рассмотрим основные методы расчета РПНУ.

   Динамика развития убытков обусловлена 𝛼𝑖 — качеством страхового портфеля, сформированного в -й год, 𝛾𝑘 — качеством года 𝑘 = 𝑖 + 𝑗 −1 и 𝛽𝑗 — спецификой вида страхования. Таким образом 𝑌𝑖𝑗=𝛼𝑖𝛽𝑗𝛾𝑘,𝑘 = 𝑖 + 𝑗 −1 .

   Если ограничиться двухпараметрическим представлением, то получим 𝑌𝑖𝑗=𝛼𝑖𝛽𝑗 или 𝑌𝑖𝑗=𝛼𝑖𝛾𝑘.

    Суть всех математических методов оценки РПНУ заключается в анализе убытков прошлых лет и проецировании опыта прошлых лет на последующие годы событий — годы развития убытка в целях восполнения недостающих данных по убыткам (Табл.1).

Таблица 1 Методы расчета РПНУ

      Подбор параметров можно осуществлять разными методами, например, методом минимальных квадратов, методом цепной лестницы и рядом других. Методы не содержат в себе стохастической модели, и, следовательно, вопрос о точности в них не ставится. Отметим, что все известные методы расчета дают значения РПНУ, существенно отличающиеся друг от друга. Если упорядочить полученные разными методами значения РПНУ для одного набора статистических данных, то для других данных порядок будет иной. Метод, который давал большие значения, необязательно будет снова давать максимальные значения. В связи с этим предлагается дополнять расчет резервов оценкой точности.

Пусть Е(…) — оператор математического ожидания. Мера точности: среднеквадратичная ошибка оценки резерва 𝑅̂ 𝑖 -го года события: 𝑚𝑠𝑒2(𝑅̂𝑖)=𝐸(𝑅̂𝑖−𝐸(𝑅𝑖))2+𝐸(𝑅𝑖−𝐸(𝑅𝑖))2=𝐷(𝑅̂ 𝑖)+𝐷(𝑅𝑖). Мера качества оценки резерва складывается из двух компонент: случайной ошибки: 𝐷(𝑅𝑖) и оценочной ошибки: 𝐸(𝐸(𝑅𝑖)−𝑅̂𝑖2=𝐷(𝑅̂𝑖) при условии несмещенности оценки 𝐸(𝑅̂ 𝑖)=𝐸(𝑅𝑖)
Методика по определению точности оценок методов расчета РПНУ включает следующие основные моменты:
1. Выдвигается стохастическая модель на основе функции распределения, содержащей параметры, подлежащие оценке 𝑓(𝑌𝑖𝑗;𝛼𝑖,𝛽𝑗,𝛾𝑘).
2.Строится функция максимального правдоподобия 𝐿=ΠΠ𝑓(𝑌𝑖𝑗;𝛼𝑖,𝛽𝑗,𝛾𝑖+𝑗−1)𝑗𝑖.
3. Устанавливается система уравнений для определения параметров 𝛼𝑖, 𝛽𝑗, 𝛾𝑘 дифференцированием по ним величины 𝑙𝑛(𝐿). Эта система решается методом итераций. При этом критериями адекватности стохастической модели методу являются либо совпадение уравнений для расчета параметров (что бывает редко) либо численное совпадение оценок.
4. Строится информационная матрица Фишера 𝐼(𝛼𝑖,𝛽𝑗).
5. Численно определяются элементы матрицы ковариаций 𝑀(𝛼𝑖,𝛽𝑗,𝛾𝑘).
6. Находится случайная ошибка 𝐷(𝑅𝑖).
7. Находится оценочная ошибка (𝐸(𝑅𝑖)−𝑅𝑖)̂².
8. Вычисляется среднеквадратичная ошибка по всем годам событий 𝑚𝑠𝑒²(𝑅).
Располагая методикой оценки точности, страховая компания вправе выбрать метод расчета РПНУ с обоснованием его точности.

Список литературы
1. Мак Т. Математика рискового страхования. М.: Олимп-Бизнес, 2005.