29 мая 2016г.
Аннотация: анализируются два объекта, один из которых принадлежит технической системе, а другой экономической. На указанных примерах продемонстрировано, что объекты, имеющие различную природу, можно описывать по одинаковой схеме, используя математику нечетких множеств.
Нечеткая логика, созданная в 1960-х гг. профессором Лофти А. Заде, переживает сейчас второе рождение, начиная с конца 1970-х г.г., методы теории нечетких множеств начинают применяться в экономике. Однако, в России совсем недавно появился интерес к исследованиям, которые построены на нечетких принципах. Подробно остановимся на проблемах описания реальной системы, которая представляет собой многоцелевую систему. Под любой реальной системой понимается некоторая совокупность объектов, находящихся в отношениях и связях между собой и взаимодействующих с окружающей средой. Каждая такая система имеет глобальную цель создания, причем каждый объект системы имеет собственную цель. Разрабатывая многоцелевую концепцию реальной системы, можно представить ее математическую модель как семейство частных математических моделей, каждая из которых моделирует определенную задачу. При такой постановке задачи можно менять глобальный критерий оптимизации, так как, при формировании программы функционирования системы на макроэкономическом уровне может быть выдвинут один критерий оптимальности, а при оптимизации проектирования системы на микроэкономическом уровне – другой.
Представим реальную систему как совокупность системообразующих множеств:
A =A(W,M,R,P ) , где W − множество факторов внешней среды; M − множество элементов системы, объединенных в подсистемы и систему в целом; R − множество отношений, связывающих между собой элементы множества M, а также элементы множества M с элементами множества W; P − множество свойств системы и его подсистем.
Для управляющей подсистемы задача оптимизации имеет вид: (Х1)min £ Х1 £ (Х1)mах ;
Gj1(Х1, С1) £ Аj1(С1) ; j1Î J1 ; (1)
extr Z1 (Х1, С1) ; Z1 Î Z ;
где С1 – вектор элементов технического задания, входящий в системообразующее множество W1; Х1 – вектор, описывающий характеристики компонентов управляющей подсистемы и принадлежащий множеству М1; Gj1 – оценка j1-го качества подсистемы, построенная на отношениях из R1 и принадлежащая системообразующему множеству Р1; Аj1 – требования к j1-му качеству подсистемы, J1 - множество отношений между компонентами управляющей системы; Z1 – критериальная оценка подсистемы из множества критериальных функций Z.
Для управляемой подсистемы задача оптимизации формулируется как: С2 = fC (Х1, Gj1, Z1);
(Х2)min £ Х2 £ (Х2)mах ; Х2 = fХ (Х1, Gj1, Z1);
(Х2)min = f ХMIN (Х1, Gj1, Z1);
(Х2)max = f ХMAX (Х1, Gj1, Z1); (2)
Gj2(Х2, С2) £ Аj2(С2) ; j2Î J2 ;
J2 = fJ (Х1, Gj1, Z1) ; Z2 = fZ (Х1, Gj1, Z1) ;
extr Z2 (Х2, С2) ; Z2 Î Z ;
где С2, Х2, Gj2, Аj2, Z2 – имеют тот же смысл, что и для управляющей системы, однако, все они являются функциями элементов управляющей оптимизационной задачи. Определение поведения таких иерархических систем становится все более необходимым, так как особенность подобных систем заключается в том, что значительная часть информации, необходимой для их математического описания, существует в форме представлений или пожеланий экспертов, что невозможно отразить с помощью традиционной математики, но что легко решается при использовании теории нечетких множеств.
Коротко остановимся на основных терминах, применяемых в теории нечетких множеств. Пусть Х - заданное множество альтернатив. Тогда нечеткая цель будет определяться фиксированным нечетким подмножеством С множества Х, которая характеризуется функцией принадлежности mC (x) Î [0;1]. Причем 0 и 1 представляют собой соответственно самую низкую и самую высокую степень принадлежности элемента к определенному подмножеству. Подобным же образом, описывается нечеткое ограничение L в пространстве Х, что дает возможность не делать различия между целями и ограничениями при формировании решения. Проблема принятия решения D в нечетких условиях интерпретируется тогда как комплексное влияние нечеткой цели C и нечеткого ограничения L на выбор альтернатив и характеризуется пересечением С c L. Функция принадлежности для множества решений задается соотношением mD(x)=mCÙmL.
Постараемся с помощью теории нечетких множеств описать произвольный объект сложной системы, где все множество решений кластеризуется по облегченной схеме как “хорошие”, “приемлемые”, “плохие” и в качестве варьируемых переменных рассматриваются две переменные X1 и X2. Пусть целью оптимизации данного объекта является минимизация критерия оптимизации.
Следующий объект относится к экономической системе. Одна из самых сложных задач в сфере экономики, производства и управления - анализ и оценка инвестиционных проектов, так как при решении вопроса об инвестициях приходится иметь дело с множеством заведомо противоречивых критериев, которые часто не формализованы. Введем понятие NPV (чистый дисконтированный доход) – один из самых распространенных показателей эффективности инвестиционного проекта, который представляет собой разность между дисконтированными по времени поступлениями от проекта и инвестиционными затратами на него:
Как и в случае объекта технической системы, мы видим, что функция принадлежности сведена к простейшему упрощенному треугольному виду. При этом степень градации, как для объекта технической системы, так и для объекта экономической системы можно расширить.
В заключении отметим, что оперируя языком нечетких множеств, мы можем описать любую реальную систему. Такой подход дает приближенные, но в тоже время эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому описанию.
Список литературы
1. Алтунин А.Е., Семухин М.В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях. // Тюмень, Тюменский государственный университет, 2000, 352 с.
2. Артюшина Т.Г. Применение теории нечетких множеств для отображения общности принципов, используемых при описании структуры объектов реальной системы, на примере объектов технической и экономической систем. // Москва, Наукоемкие технологии, №2, 2016, т.17, с.66-70.
3.
Артюшина Т.Г. Описание и оптимизация элемента многоуровневой системы “Судно” на основе теории нечетких множеств. СПб.: Морской Вестник. 2010. №4(36). С 99-101.
