МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СИНЕРГЕТИКИ

Моделирование [1 – 3], как способ познания окружающего мира, в современном понятии науки существует недавно. Несмотря на это, в настоящий момент, моделирование представляет собой объединение математических дисциплин, на базе которых  осуществляется решение целого ряда задач естествознания. Естественно, формулировки задач являются отражением реальных процессов и явлений, которые, приносят пользу или несут угрожающий характер для деятельности человека. Моделирование сложных процессов и структур вынуждает ученых к объединению старых и созданию новых математических инструментов и дисциплин.

Математическое моделирование получило повсеместное распространение на рубеже нашего века и привело к переоценке метафизических и онтологических оснований реальности, зачастую понимаемых как набор теоретических, дисциплинарных, модельных образов насущных практик. Казалось бы, математика множит сущности, решая прагматические задачи, создавая множество моделей, она разрушает целостный взгляд на мир. Задачу восстановления и удержания холистической картины мира, без разрушения теоретических модельных представлений, в большой степени и решает синергетика. Она согласует частнотеоретические и полидисциплинарные представления через свои принципы [4], через теорию самоорганизации и мягкой редукции в иерархии уровней мироздания, через коммуникацию и неустойчивости развивающихся систем.

Математические методы синергетики возникли в фокусе трех основных направлений развития современной прикладной математики. Первое из них это теория нелинейных динамических систем, восходящая к А. Пуанкаре и Р. Куранту. Второе направление связано с вероятностными методами статистической классической и квантовой механики активно начатое еще Л. Больцманом, методами осреднения в многочастичных задачах кинетики, с развитием равновесной и неравновесной термодинамики. Третье направление связано с компьютерным моделированием нелинейных сред, восходящее к послевоенным работам А. Тьюринга по морфогенезу и Э. Ферми по теории солитонов. Плодотворный синтез этих направлений начался в шестидесятые- семидесятые годы, когда появились методы нахождения асимптотических состояний, параметров порядка в нелинейных средах и эффективные алгоритмы счета нелинейных задач.

Начало 70-х годов прошлого века было ознаменовано появлением нового научного образования, называемого синергетикой [2]. Синергетика, основы которой заложены Г. Хакенном, лауреатом Нобелевской премии И. Пригожиным, определяется как наука о коллективных статистических и динамических явлениях в закрытых и открытых многокомпонентных системах с «кооперативным» взаимодействием между элементами системами. Чтобы мы ни понимали под синергетикой: теорию развивающихся систем, теорию систем, состоящих из множества одинаковых подсистем, или теорию о системах, проходящих состояния неустойчивости, математические методы синергетики, как науки, образуют растущее множество методов описания нелинейных, конечных и бесконечных динамических систем, и любой новый метод здесь является и методом синергетики тоже. И если рассматривать действительно сложную развивающуюся систему, то, скорее всего, все эти методы будут востребованы, начиная с теорией катастроф и, кончая теорией динамического хаоса.

В физике, химии и биологии синергетика концентрируется на структурных особенностях пространственно- временной самоорганизации систем. Самоорганизация возникает в системах большой размерности, и по сути представляет собой совместное существование взаиморегулируемых и взаимозависимых подсистем. Оказывается, в этом  понимании между различными системами существует тесная аналогия, даже если они состоят из разнородных элементов с существенно отличными элементарными взаимодействиями. Необходимость исследовать открытые нелинейные, далекие от равновесия системы во многих областях физики, техники, химии, экономики, экологии привела к развитию междисциплинарных подходов. Один из наиболее успешных междисциплинарных подходов и является синергетика. В основе современной синергетики лежат три парадигмы – появившиеся друг за другом: парадигма диссипативных структур, парадигма динамического хаоса и парадигма сложности.

Качественная теория, отражающая в основном эффекты, понятые с помощью компьютерного моделирования, потребовала новых математических идей, существенно опирающихся на то, что мы имеем дело с одной переменной T, а не с их набором. В отличии от стационарных диссипативных структур, которые изучались в брюссельской школе под руководством И.Р. Пригожина, в научной школе С.П. Курдюмова исследовались нестационарные диссипативные структуры, развивающиеся в режиме с обострением. Под режимом с обострением понимают такие законы изменения параметров исследуемой системы, когда одна или несколько описывающих ее величин неограниченно возрастает за ограниченное время. В научной школе С.П. Курдюмова было открыто явление локализации тепла, обнаружены и исследованы так называемые собственные функции нелинейной среды, описывающие, как правило, волны горения, сохраняющие в процессе эволюции свою форму.

В 1963 году – американский метеоролог Эдвард Лоренц предложил простейшую модель, описывающую конвекцию. Целью этой работы был ответ на вопрос: почему стремительное совершенствование компьютеров, математических моделей и вычислительных алгоритмов не привело к созданию методики получения достоверных среднесрочных (на 2-3 недели вперед) прогнозов погоды.

Компьютерный анализ системы Лоренца привел к принципиальному результату. Им был открыт – динамический хаос, т.е. непериодическое движение в детерминированных системах (то есть в таких, где будущее однозначно определяется прошлым), имеющее конечный горизонт прогноза. С точки зрения математики, можно считать, что любая динамическая система, что бы она ни моделировала, описывает движение точки в фазовом пространстве. Важнейшая характеристика этого пространства – его размерность, или, попросту говоря, количество чисел, которые необходимо задать для определения состояния системы. С математической и компьютерной точек зрения не так уж и важно, что это за числа – количество рысей и зайцев на определенной территории, переменные, описывающие солнечную активность или кардиограмму, или процент избирателей, поддерживающих определенного кандидата. Если считать, что точка, двигаясь в фазовом пространстве, оставляет за собой след, то динамическому хаосу будет соответствовать клубок траекторий. Замечательно, что такие удивительные объекты существуют даже в трехмерном пространстве. Для установившихся колебаний, соответствующих динамическому хаосу, Д. Рюэль и Ф. Такенс в 1971 году предложили название – странный аттрактор.

Пророчество Анри Пуанкаре о том, что в будущем можно будет предсказывать новые физические явления, исходя из общей математической структуры описывающих эти явления уравнений, компьютерные эксперименты превратили в реальность.

Система Лоренца имеет конечный горизонт прогноза. Если мы вновь возьмем две близкие траектории, то они расходятся. Одна уходит от второй. Скорость расходимости определяется так называемым ляпуновским показателем, и от этой величины зависит интервал времени, на который может быть дан прогноз. Можно сказать, что для каждой системы есть свой горизонт прогноза.

В русском языке термин “сложность” имеет двоякий смысл. С одной стороны, его можно понимать как сложность устройства, т.е. как наличие в некоторой системе большого числа элементов и/или нетривиальных связей между ними. А с другой стороны, речь может идти о сложности внешних проявлений системы безотносительно ее внутреннего устройства, т.е. о нетривиальном поведении. Эти две “сложности” во многом взаимосвязаны, но не эквивалентны. Хотя строгого и общего определения сложности не существует, опыт развития синергетики и изучения конкретных систем, интуитивно определяемых нами как сложные, позволяет высказать некоторые общие соображения о свойствах любой сложной системы на разных уровнях описания. Системы с простой структурой, к примеру – иерархической, могут демонстрировать очень сложное нетривиальное поведение [2].

Многие системы обладают простой иерархической структурой. Например, литосферу Земли можно представить как систему блоков, разделенных разломами. Каждый из этих блоков делится на более мелкие, а те, в свою очередь, на еще более мелкие и т.д. Геофизики выделяют более 30 иерархических уровней в земной коре от тектонических плит протяженностью в тысячи километров до зерен горных пород миллиметрового размера. Большие землетрясения обычно сопровождаются многочисленными повторными толчками – афтершоками, которые каскадом перераспределяют напряжение вниз по иерархии разломов. А подготовка землетрясения происходит посредством обратного каскада передачи напряжения, восходящего с нижних уровней иерархии к верхним.

Напрашивающимся примером иерархической системы, связанной с деятельностью человека, служит система административного или военного руководства. Успех в решении задач на некотором уровне управления определяется эффективностью функционирования нижележащих уровней.

Список литературы

1.     Самарский А.А.,  Михайлов А.П.  Математическое  моделирование:  идеи,  методы,  примеры.  –  М.: Физматлит, 2001.

2.     Краснощеков П.С., Петров А.А., Федоров В.В. Информатика и проектирование. – М.: Знание, 1986.

3.     Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. – М.: Наука, 1996.

4.     Буданов В.Г. Синергетическая методология // Вопр. философии. 2006. № 5.