09 марта 2016г.
По данным Лаборатории Реактивного Движения NASA, на данный момент обнаружено более десяти тысяч астероидов, пересекающих орбиту Земли (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/). Более 1300 астероидов, принадлежащих у группам Аполлона, Амура и Атона, считаются потенциально опасными и проходят через сферу действия Земли на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Астероиды этих групп могут испытывать тесные сближения с Землѐй. Возмущения, полученные астероидом при тесном сближении, могут значительно отразиться на его дальнейшей траектории, что может привести к столкновению. Элементы орбит небесных тел вычисляются с определенными погрешностями, поэтому важно иметь возможность оценить влияние этих погрешностей на величину вероятности столкновения этого астероида с Землѐй.
Принимая во внимание вышеизложенное, становится понятно, что разработка математических моделей, позволяющих оценить величину вероятности столкновения астероидов с Землѐй, является актуальной задачей.
В данной работе рассматриваются два потенциально опасных для Земли астероида: 99942 Apophis и 2011 AG5. Произведена оценка влияния погрешностей в элементах орбит этих астероидов. Получены даты опасных сближений и дана оценка вероятности столкновения рассмотренных астероидов с Землѐй.
Математическая модель движения астероидов учитывала ньютоновские и шварцшильдовские члены, обусловленные Солнцем. Дифференциальные уравнения, представляющие модель движения, в гелиоцентрической системе координат имеют вид [4]:
Положение астероида
в пространстве однозначно определяют
элементы орбит. Это шесть элементов, два из которых
(большая полуось
a и эксцентриситет e) задают форму орбиты, три (наклонение i, долгота восходящего узла
W и аргумент перигелия w ) — ориентацию по отношению
к базовой системе координат, и один (средняя
аномалия M) определяет положение тела на орбите.
Источником значений элементов орбит на различные даты наблюдений являлся сайт-каталог орбитальной эволюции
малых тел Солнечной системы smallbodies.ru. Начальные данные для астероидов 99942 Apophis и 2011 AG5 приведены в Табл.1 и Табл.2 соответственно
Таблица 1
Элементы орбиты астероида
99942 Apophis на различные моменты наблюдений
Дата
|
a, а.е.
|
e
|
i, град.
|
W , град.
|
w , град.
|
M, град.
|
06.03.2006
|
0,92239593
|
0,19104000
|
3,331224
|
204,462302
|
126,355659
|
222,272876
|
04.01.2010
|
0,92241929
|
0,19121109
|
3,331512
|
204,439306
|
126,424463
|
339,948637
|
27.08.2011
|
0,92230028
|
0,19107611
|
3,331952
|
204,430424
|
126,424469
|
287,582163
|
Таблица 2
Элементы орбиты астероида 2011 AG5 на различные моменты наблюдений
Дата
|
a, а.е.
|
e
|
i, град.
|
W , град.
|
w , град.
|
M, град.
|
19.05.2011
|
1,43063113
|
0,39056001
|
3,680462
|
135,713596
|
53,480619
|
32,077136
|
27.08.2011
|
1,43048221
|
0,39049892
|
3,680517
|
135,712206
|
53,473598
|
89,695558
|
05.12.2011
|
1,43056303
|
0,39041690
|
3,680351
|
135,710898
|
53,479691
|
147,300586
|
Для оценки вероятности столкновения астероидов с Землѐй,
использовался модифицированный метод Монте-Карло. Суть метода применительно к данной работе состоит в следующем. Элементы орбит астероидов можно считать случайными величинами, распределенными по нормальному закону с вектором
математических ожиданий X = (a, e,i, W,w, M ) , равным элементам орбит
по результатам наблюдений и ковариационной
матрицей S . Генерируется определенное количество шестимерных случайных величин Ì N (
X ,
S) , представляющих облако виртуальных астероидов. Затем с заданной
точностью численного интегрирования прослеживается движение каждого виртуального астероида
на определенном временном отрезке,
чтобы установить, произойдет ли столкновение этого объекта с Землѐй. Если в определенный момент времени расстояние между центрами планеты и астероида
становится меньше радиуса Земли (6378 км), то считается, что произошло столкновение и интегрирование уравнений движения
для этого виртуального астероида прекращается.
При большом
количестве испытаний отношение
числа виртуальных астероидов, для которых выполнилось условие
столкновения, к общему числу испытаний может служить оценкой вероятности столкновения [3]. Метод Монте–Карло является
сходящимся по вероятности [5].
Модификация метода Монте–Карло состояла в следующем. Для каждого астероида
был проведѐн анализ влияния возмущений в элементах орбит на величину сближения
с Землѐй. Было установлено, что такими элементами являются
большая полуось a и эксцентриситет e, так как только
при возмущении этих элементов орбиты возникали
значительные отклонения в величине сближения. Таким образом, было решено
сократить размерность случайных величин, представляющих виртуальные астероиды с 6 до 2, т.е.
вместо
случайных величины X = (a, e,i, W,w, M ) рассматривались величины X = (a, e) , а
остальные элементы орбит виртуальных астероидов были положены равными
их математическим ожиданиям.
Для расчѐта по
методу Монте–Карло для каждого из астероидов (99942 Apophis и 2011 AG5) было сгенерировано 50000 виртуальных астероидов с учетом корреляционных связей между элементами орбит.
Уравнения движения астероидов интегрировались методом Эверхарта
27 порядка на интервале времени с 2006 по 2040 гг. [2, 7].
Оценка величины вероятности столкновения 13.04.2036г. для астероида 99942 Apophis
Таблица 3
06.03.2006
|
4.2 ×10-4
|
04.01.2010
|
3.4 ×10-4
|
27.08.2011
|
1.8×10-4
|
Таблица 4
Оценки величины вероятности столкновения 05.02.2040г для астероида 2011 AG5
Дата наблюдений
|
P
|
19.05.2011
|
4.3×10-4
|
27.08.2011
|
1.4 ×10-4
|
05.12.2011
|
4.0 ×10-5
|
Оценка величины вероятности и дата столкновения (13.04.2036 г. для 99942 Apophis и 05.02.2040 г. для 2011 AG5) для начальных данных на приведенные даты наблюдений
не противоречат результатам других исследований. Так, по данным Лаборатории реактивного движения
NASA, оценка
вероятности столкновения астероида 99942 Apophis с Землей равна 4.5×10-4 [3], а астероида 2011 AG5 – 2.0 ×10-3 (оценка на 31.03.2012 года). Кроме того,
в статье Смирнова
Е.А. [8] предложена оценка вероятности столкновения астероида 99942 Apophis, равная 2.5
×10-5 , а в статье
D. Adamo [1]–1.57 ×10-5 для астероида
2011
AG5. Для вычисления указанных выше оценок использовался метод Монте-Карло с учетом корреляционных связей между элементами орбит.
Список литературы
1.
Adamo D.R. Earth Risk Corridor
Computations for 2011 AG5 on 5 February 2040//Astrodynamics Technical Interchange Group, 2012.
2.
Everhart E., Implicit
single-sequence methods for integrating orbits. // Celestial
mechanics, 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 35-55.
3.
Giorgini J.D., Lance A.M. Benner, Ostro S.J., Nolan M.C., Busch M.W. Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis//
Icarus, № 193, 2008. P.
1–19.
4.
Брумберг В.А., Релятивистская небесная
механика. М.: Наука, 1972. 382 с.
5.
Ермаков С.М., Метод Монте–Карло и смежные
вопросы. М.: Наука,
1975. 472 с.
6. Железнов Н.Б., ―Влияние
корреляционных связей между оцениваемыми по наблюдениям орбитальными параметрами астероида на результаты определения вероятности его столкновения с планетой методом Монте–Карло‖
7.
Заусаев А.Ф., Заусаев А.А. Применение модифицированного метода Эверхарта для решения
задач небесной механики
// Матем. моделирование, 2008. Т. 20, № 11. С. 109–114.
8. Смирнов Е.А. Использование интервальной арифметики при прогнозировании орбит малых тел// Труды международной конференции «Астрономия и всемирное наследие через время и континенты», секция «Околоземная астрономия», Казань: Казан. гос. ун-т., 2009. С. 101–102.