О ПОНЯТИИ ГРАДУИРОВАННОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В РАМКАХ ТЕОРИИ ГИПЕРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Введение

Теория гиперрациональных чисел является расширением теории гипернатуральных чисел, которая, в свою очередь, расширяет формализованную элементарную теорию чисел.

Теория гиперрациональных чисел как основа для математического анализа является консервативным расширением теории рациональных чисел с одной стороны, а с другой использует идеи нестандартного анализа А. Робинсона. Однако, в отличие от его работ, множество вещественных чисел как таковое не предполагается существующим.

Идеи описания свойств вещественных чисел и функций путѐм моделирования соответствующих понятий в теории гиперрациональных чисел восходят к А.Г. Драгалину, Н.К. Косовскому. Нестандартные модели арифметики ввѐл К. Гѐдель. Систематическое изложение теории гиперрациональных чисел и функций, включая дифференциальное и интегральное исчисление, предпринято автором.

В настоящей заметке предлагается теоретико-модельный подход к понятию гиперрационального числа, построение модели теории гиперрациональных чисел, и вводится понятие градуированной непрерывности для функций гиперрациональной переменной. Отметим, что соответствующие понятия могут быть введены и в теории  вещественных  функций.  Однако  интерес  именно  к  гиперрациональным  функциям  объясняется конструктивностью понятия рационального числа x ÎQ и консервативностью теории гиперрациональных чисел над   теорией   рациональных.  С  точки  зрения  теории  моделей  последнее  означает,  что  модель  теории гиперрациональных чисел является элементарным расширением модели теории рациональных чисел

Поле гиперрациональных чисел

За  основу возьмѐм  конструктивное  множество  натуральных  чисел,  являющееся  моделью  слабой арифметики, введѐнной в [1].

Формализованный язык слабой арифметики содержит предикат равенства, функторы сложения и умножения, константу ноль и функтор следования (прибавления единицы), обозначаемые стандартными знаками.

Специальными аксиомами слабой арифметики являются: