ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ В АКСИОМАТИЧЕСКОМ ВЕЩЕСТВЕННОМ НЕСТАНДАРТНОМ АНАЛИЗЕ

1.    Аксиоматический подход к нестандартному анализу предложен А.Г. Драгалиным. Второй из авторов начал разрабатывать этот вопрос под влиянием Н.К. Косовского. В настоящее время автором и Е.В. Праздниковой развита теория непрерывности,  начатая И.Ф. Сегаль, дифференциальное и интегральное исчисление, предложены различные подходы к первоначальным понятиям, в частности арифметика А. Тарского, слабая арифметика. Подробное с изложением формализованного языка и соответствующего списка аксиом имеется в [1 – 10]. Там же изложены основы дифференциального и интегрального  исчисления. Настоящая заметка практически завершает изложение аналога элементарного вещественного анализа на основе аксиоматического нестандартного анализа. Аналогу комплексного анализа посвящены работы [5,6].

2.       Опишем неформально элементарную теорию гиперрациональных чисел, в рамках которой моделируются как вещественные числа, так и их свойства. Рассматривается класс всех гиперрациональных чисел, являющийся моделью консервативного расширения теории рациональных чисел. При этом понятие гиперрациональной функции заменяет понятие вещественной функции. Рациональные числа мыслятся как тройки натуральных чисел вида a,b,c , где a,b,c – натуральные числа. Каждая тройка a,b,c описывает число   Ясно, как определяется равенство, порядок и операции в классе всех рациональных чисел, на основе соответсвтующих понятий для натуральных чисел.

гиперрациональных чисел. При этом имеет место принцип переноса: любое утверждение о рациональных числах, функциях и отношениях, доказуемое в классе рациональных чисел, доказуемо и в классе гиперрациональных чисел. Иными словами, гиперрациональные числа, как и рациональные, образуют упорядоченное поле, содержащее некоторое подкольцо гиперцелых чисел, которое содержит гипернатуральные числа. Однако наличие бесконечно большого гиперанатурального числа привносит возможность рассматривать свойства гиперрациональных чисел аналогичные свойствам сходимости, а некоторые классы гиперрациональных чисел

«ведут себя» аналогично вещественным числам.

3. Опишем коротко строение класса гиперрациональных чисел.

3.1.    Гиперрациональные числа образуют упорядоченное поле, содержащее подполе рациональных чисел, подкольцо гиперцелых чисел.

1.     Ловягин Ю.Н. Гиперрациональные числа как основа математического анализа // Вестник сыктывкарского университета. Сер. 1, Вып. 7. – 2007. – С. 17 – 34.

2.     Праздникова Е.В. Моделирование вещественного анализа в рамках аксиоматики для гипернатуральных чисел // Вестник сыктывкарского университета. Сер.1, Вып. 7. – 2007. – С. 41 – 66.

3.     Сегаль И.Ф. Доказательство равномерной непрерывности функций на гипер-рациональных числах в аксиоматике арифметики // Косовский Н.К., Тишков А.В. Логики конечнозначных предикатов на основе неравенств: Учебное пособие. – СПб.: Издательство С.-Петерб. университета, 2000. – 268 с. – С.232 – 241.

4.     Драгалин А.Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ. – М.: Едиториал УРСС, 2003. – 544 с.

5.     Праздникова Е.В. Моделирование голоморфных аксиоматическом нестандартном анализе // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования: LXII Герценовские чтения, Санкт-Петербург. – 2008. – С. 114 – 150.

6.     Ловягин Ю.Н., Праздникова Е.В. Элементарные функции на множестве комплексных гиперрациональных чисел // Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1, Вып. 9. – С. 30 – 42.

7.     Ловягин Ю.Н., Праздникова Е.В. Формализованный язык для описание теории комплексных гиперрациональных чисел // Поэт, учёный, педагог: Материалы Всероссийской конференции, посвящённой Н.А. Фролову. Сыктывкар. – 2009. – С. 106 – 115.

8.     Ловягин Ю.Н. Арифметика А. Тарского как методологическая основа преподавания элементарного анализа. // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования: LXV Герценовские чтения, Санкт-Петербург. – 2012. – С. 182 – 194.

9.     Ловягин Ю.Н. О понятии градуированнной непрерывности в рамках теории гиперрациональных чисел // Перспективы развития современных математических и естественных наук: Сб. Научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Воронеж. – 2014. С. 9 – 12.

10. Ловягин Ю.Н. Теоретико-множественная арифметика, основанная на понятии прачисла. // Актуальные проблемы естественных и математических наук в России и за рубежом: Сб. Научных трудов по итогам конференции. Новосибирск. – 2015. – С. 14 – 20.