По данным Лаборатории Реактивного Движения NASA, на данный момент обнаружено более десяти тысяч астероидов, пересекающих орбиту Земли (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/). Более 1300 астероидов, принадлежащих у группам Аполлона, Амура и Атона, считаются потенциально опасными и проходят через сферу действия Земли на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Астероиды этих групп могут испытывать тесные сближения с Землѐй. Возмущения, полученные астероидом при тесном сближении, могут значительно отразиться на его дальнейшей траектории, что может привести к столкновению. Элементы орбит небесных тел вычисляются с определенными погрешностями, поэтому важно иметь возможность оценить влияние этих погрешностей на величину вероятности столкновения этого астероида с Землѐй.

Принимая во внимание вышеизложенное, становится понятно, что разработка математических моделей, позволяющих оценить величину вероятности столкновения астероидов с Землѐй, является актуальной задачей.

В данной работе рассматриваются два потенциально опасных для Земли астероида: 99942 Apophis и 2011 AG5. Произведена оценка влияния погрешностей в элементах орбит этих астероидов. Получены даты опасных сближений и дана оценка вероятности столкновения рассмотренных астероидов с Землѐй.

Математическая модель движения астероидов учитывала ньютоновские и шварцшильдовские члены, обусловленные Солнцем. Дифференциальные уравнения, представляющие модель движения, в гелиоцентрической системе координат имеют вид [4]:

Положение астероида в пространстве однозначно определяют элементы орбит. Это шесть элементов, два из которых (большая полуось a и эксцентриситет e) задают форму орбиты, три (наклонение i, долгота восходящего узла W и аргумент перигелия w ) — ориентацию по отношению к базовой системе координат, и один (средняя аномалия M) определяет положение тела на орбите. Источником значений элементов орбит на различные даты наблюдений являлся сайт-каталог орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы smallbodies.ru. Начальные данные для астероидов 99942 Apophis и 2011 AG5 приведены в Табл.1 и Табл.2 соответственно

Таблица 1 

Элементы орбиты астероида 99942 Apophis на различные моменты наблюдений

Дата	a, а.е.	e	i, град.	W , град.	w , град.	M, град.
06.03.2006	0,92239593	0,19104000	3,331224	204,462302	126,355659	222,272876
04.01.2010	0,92241929	0,19121109	3,331512	204,439306	126,424463	339,948637
27.08.2011	0,92230028	0,19107611	3,331952	204,430424	126,424469	287,582163

 Таблица 2

Элементы орбиты астероида 2011 AG5 на различные моменты наблюдений

Дата	a, а.е.	e	i, град.	W , град.	w , град.	M, град.
19.05.2011	1,43063113	0,39056001	3,680462	135,713596	53,480619	32,077136
27.08.2011	1,43048221	0,39049892	3,680517	135,712206	53,473598	89,695558
05.12.2011	1,43056303	0,39041690	3,680351	135,710898	53,479691	147,300586

Для оценки вероятности столкновения астероидов с Землѐй, использовался модифицированный метод Монте-Карло. Суть метода применительно к данной работе состоит в следующем. Элементы орбит астероидов можно считать случайными величинами, распределенными по нормальному закону с вектором математических ожиданий X = (a, e,i, W,w, M ) , равным элементам орбит по результатам наблюдений и ковариационной 

матрицей     S .  Генерируется  определенное  количество  шестимерных  случайных  величин Ì N ( X , S) , представляющих облако виртуальных астероидов. Затем с заданной точностью численного интегрирования прослеживается движение каждого виртуального астероида на определенном временном отрезке, чтобы установить, произойдет ли столкновение этого объекта с Землѐй. Если в определенный момент времени расстояние между центрами планеты и астероида становится меньше радиуса Земли (6378 км), то считается, что произошло столкновение и интегрирование уравнений движения для этого виртуального астероида прекращается.

При большом количестве испытаний отношение числа виртуальных астероидов, для которых выполнилось условие столкновения, к общему числу испытаний может служить оценкой вероятности столкновения [3]. Метод Монте–Карло является сходящимся по вероятности [5].

Модификация метода Монте–Карло состояла в следующем. Для каждого астероида был проведѐн анализ влияния возмущений в элементах орбит на величину сближения с Землѐй. Было установлено, что такими элементами являются большая полуось a и эксцентриситет e, так как только при возмущении этих элементов орбиты возникали значительные отклонения в величине сближения. Таким образом, было решено сократить размерность случайных  величин, представляющих виртуальные астероиды  с 6 до 2, т.е. вместо случайных величины X = (a, e,i, W,w, M ) рассматривались величины X = (a, e) ,  а  остальные  элементы  орбит виртуальных астероидов были положены равными их математическим ожиданиям.

Для расчѐта по методу Монте–Карло для каждого из астероидов (99942  Apophis и 2011 AG5)  было сгенерировано 50000 виртуальных астероидов с учетом корреляционных связей между элементами орбит.

Уравнения движения астероидов интегрировались методом Эверхарта 27 порядка на интервале времени с 2006 по 2040 гг. [2, 7].

Оценка величины вероятности столкновения 13.04.2036г. для астероида 99942 Apophis

Таблица 3

Дата наблюдений

Р

06.03.2006	4.2 ×10-4
04.01.2010	3.4 ×10-4
27.08.2011	1.8×10-4

Таблица 4

Оценки величины вероятности столкновения 05.02.2040г для астероида 2011 AG5

Дата наблюдений	P
19.05.2011	4.3×10-4
27.08.2011	1.4 ×10-4
05.12.2011	4.0 ×10-5

Оценка величины вероятности и дата столкновения (13.04.2036 г. для 99942 Apophis и 05.02.2040 г. для 2011 AG5) для начальных данных на приведенные даты наблюдений не противоречат результатам других исследований. Так, по данным Лаборатории реактивного движения NASA, оценка вероятности столкновения астероида 99942 Apophis с Землей равна 4.5×10-4 [3], а астероида 2011 AG5 – 2.0 ×10-3 (оценка на 31.03.2012 года). Кроме того, в статье Смирнова Е.А. [8] предложена оценка вероятности столкновения астероида 99942 Apophis, равная 2.5 ×10-5 , а в статье D. Adamo [1]–1.57 ×10-5 для астероида 2011 AG5. Для вычисления указанных выше оценок использовался метод Монте-Карло с учетом корреляционных связей между элементами орбит.

 

Список литературы

1.     Adamo D.R. Earth Risk Corridor Computations for 2011 AG5 on 5 February 2040//Astrodynamics Technical Interchange Group, 2012.

2.     Everhart E., Implicit single-sequence methods for integrating orbits. // Celestial mechanics, 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 35-55.

3.     Giorgini J.D., Lance A.M. Benner, Ostro S.J., Nolan M.C., Busch M.W. Predicting the Earth encounters of (99942) Apophis// Icarus, № 193, 2008. P. 1–19.

4.     Брумберг В.А., Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.

5.     Ермаков С.М., Метод Монте–Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1975. 472 с.

6.     Железнов Н.Б., ―Влияние корреляционных связей между оцениваемыми по наблюдениям орбитальными параметрами астероида на результаты определения вероятности его столкновения с планетой методом Монте–Карло‖

7.     Заусаев А.Ф., Заусаев А.А. Применение модифицированного метода Эверхарта для решения задач небесной механики // Матем. моделирование, 2008. Т. 20, № 11. С. 109–114.

8.     Смирнов Е.А. Использование интервальной арифметики при прогнозировании орбит малых тел// Труды международной конференции «Астрономия и всемирное наследие через время и континенты», секция «Околоземная астрономия», Казань: Казан. гос. ун-т., 2009. С. 101–102.