08 марта 2016г.
Рассмотрим нестационарный волновой процесс в цилиндрической круговой оболочке произвольного очертания. При его изучении одной из важных геометрических проблем является задача выбора системы координат на срединной поверхности. Методика построения таких систем координат изложена в [4]. В дальнейшем будем предполагать, что положение точек оболочки толщины 2h , задается векторным уравнением
где (a1 ,a2 ) – полугеодезические координаты на срединной поверхности, n – единичный вектор нормали срединной поверхности, a 3 – расстояние по нормали. Будем считать, что a1 -линии – геодезические, ортогональные краю a1 = 0 , причем параметр a1 определяет длину геодезической. Край срединной поверхности оболочки играет роль базы полугеодезической системы координат. Его уравнение предполагается заданным следующим образом
Будем изучать процесс распространения волн вдоль геодезических, причем в промежутки времени до момента отражения от противоположного торца, поэтому оболочку будем считать полубесконечной. Приведем выражения для основных геометрических величин, входящих в разрешающие уравнения. В силу выбора системы координат первая квадратичная форма срединной поверхности будет иметь вид
где
Данное решение согласуется с решениями, полученными для цилиндрической оболочки, отнесенной к линиям кривизны
[1]. Как видно из (25), найденное
решение учитывает форму торца оболочки за счет присутствия в нем множителя, связанного с геометрией края. При малых значениях
времени обращение преобразования Лапласа в (16) может быть осуществлено методом
разложения по отрицательным степеням корня из параметра
преобразования [4,5].
Список литературы
1.
Коссович Л.Ю. Нестационарные задачи теории
упругих тонких
оболочек. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1986. 176 с.
2.
Каплунов Ю.Д. Распространение
нестационарных упругих
волн в оболочке общего очертания // ПММ. 1993. Т.57, вып.1. С.83-91.
3.
Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1989. 478 с.
4.
Шевцова Ю.В., Парфенова Я.А. Геометрические аспекты задачи о распространении нестационарных волн в пластинах и цилиндрических оболочках с краем произвольной формы // Вестн. Нижегород. ун-та им. Н.И. Лобачевского. Изд.-во Нижегородского госуниверситета, 2011. № 4, ч.5. С.
2612–2615.
5.
Kossovich L.Yu., Parfenova
Ya.A. Flexural transient waves in shells of revolution: An asymptotic approach//J.Appl.Math.Phys.(ZAMP).-2000.-51.-p.611-628.