Одним из получаемых параметров ячеек полярной и неполярной жидкости является среднее значение времени устойчивости, определяющее время существования ячейки [1-3]. Для его оценки необходимо знать распределение, которому подчиняются времена устойчивости ячеек жидкости. По найденным с помощью программы значениям строится гистограмма. Пример полученной гистограммы представлен на Рисунке 1.

 

Её анализ показал, что распределение не является Гауссовым, следовательно, получать среднее значение по стандартным формулам, соответствующим нормальному распределению, некорректно. Самым близким к полученной гистограмме является распределение Максвелла. В общем виде это распределение имеет вид:

Таким образом, необходим такой алгоритм определения параметра s, который позволил бы получить распределение, максимально соответствующее гистограмме.

Для этого формируется свертка функции распределения с полученными данными времен устойчивости ячейки по методике [4]:

где ti – i-ое время устойчивости ячейки из набора.

Варьируя параметр s, находим такое его значение, которое соответствует максимальному значению свертки. Такое значение параметра сигма в распределении Максвелла определяет значение интеграла разности гистограммы с распределением, наиболее близкое к нулю.

Распределение Максвелла в его классической форме начинается с нулевого значения. Как видно из рис. 1, начальное значение гистограммы смещено относительно нулевого значения. Это объясняется тем, что время устойчивости ячейки не может быть меньше половины периода колебания центральной молекулы, поскольку по модели разрушение ячейки происходит при выходе из неё центральной молекулы. Для учета смещения гистограммы преобразуем распределение Максвелла, введя в формулу параметр, характеризующий это смещение. Логично предположить, что параметр определяется минимальным временем устойчивости (tmin) из набора полученных времён. При большом числе измерений (>1000) наблюдается равенство этих значений. В этом случае функция распределения выглядит следующим образом:

Пример гистограммы и распределения, полученного описанным методом, представлен на Рисунке 2, причём при разных наборах времён устойчивости общий вид графиков изменяется несущественно.

Как видно из рисунка, интеграл разности полученного распределения Максвелла и гистограммы равен нулю. В целом наблюдается совпадение графиков, однако в области высоких времен устойчивости можно видеть существенное отклонение гистограммы от распределения. Это связано с тем, что распределение времен устойчивости, строго говоря, не является Максвелловским, следовательно, необходимо определить такое распределение, которое описывает полученную гистограмму наилучшим образом.

Было получено, что оптимальным является распределение вида:

Пример гистограммы и график такого распределения представлен на Рисунке 3.

Таким образом, было получено, что среднее время устойчивости по распределению Максвелла меньше простого среднеарифметического на 3 %. Среднее время устойчивости, полученное на основе распределения (1) больше среднеарифметического на 25%. Следовательно, при определении среднего времени устойчивости на основе распределения Максвелла среднее значение существенно не отличается от значения, полученного как простое среднеарифметическое, тогда как определение его по распределению (1) приводит к значительному изменению среднего времени устойчивости.

 

Список литературы

1.     Иванова М.С., Мартынов О.В. Описание элементарной ячейки неполярной жидкости с помощью двумерной математической модели. // Математическое моделирование, 2010, т.22, №6, 49 - 57 с.

2.     Иванова М.С., Мартынов О.В. Особенности реализации двумерной модели элементарной ячейки полярной жидкости. // Математическое моделирование, 23:5, 2011, 105 - 114 с.

3.     Мартынов О.В. Модель неустойчивых локальных структур неполярных жидкостей. Основы теории и следствия. LAP LAMBERT Academic Publishing GmbH&Co.KG, 2011, 102 c.

4.     Тарасов И.Е., Тетерин Е.П., Потехин Д.С. Оценка результатов многократных измерений с использованием функций распределения вероятности с переменным масштабом // Научное приборостроение.– 2002.–Т. 12,№1. - 66-72 c.