ВЫБОР МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛЬНО ОПАСНЫХ АСТЕРОИДОВ

По данным Лаборатории Реактивного Движения NASA, на данный момент обнаружено более двенадцати тысяч астероидов, пересекающих орбиту Земли (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/). Более 1300 астероидов, принадлежащих у группам Аполлона, Амура и Атона, считаются потенциально опасными и проходят через сферу действия Земли на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Астероиды этих групп могут испытывать тесные сближения с Землѐй. Возмущения, полученные астероидом при тесном сближении, могут значительно отразиться на его дальнейшей траектории, что может привести к столкновению. Элементы орбит небесных тел вычисляются с определенными погрешностями, поэтому важно иметь возможность оценить влияние этих погрешностей на величину вероятности столкновения этого астероида с Землѐй.

Математические модели движения небесных объектов представляют собой системы дифференциальных уравнений. Данные систем интегрируются с помощью численных методов. В данной работе рассмотрено применение метода Эверхарта при интегрировании уравнений движения потенциально опасных астероидов. Метод Эверхарта является высокоточным численным методом, сочетающим в себе высокую точность (существуют реализации метода до 33 порядка точности) и хорошую скорость расчѐтов. Требуется установить, какой вариант реализации метода Эверхарта представляет более предпочтительную точность и скорость расчѐтов для потенциально опасных астероидов: интегрирование с постоянным шагом, или с переменным.

Был проведѐн сравнительный анализ реализаций метода Эверхарта 27 порядка с переменным и с постоянным шагом. При интегрировании с постоянным шагом величина шага определялась путѐм последовательных приближений. Интегрировались уравнения движения с шагом H, а затем с половинным шагом. Значения элементов орбиты, полученные с разными шагами на конечную дату сравнивались, и если различие было значительным, то деление шаг вновь уменьшался.

В качестве объекта для исследования был выбран потенциально опасный астероид 99942 Apophis, а так же астероид 2000 GX127, не имеющий тесных сближений с Землей. Начальные данные для интегрирования уравнений движения взяты с научно-информационного сайта SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru/).Элементы орбиты, задающие положение небесного тела в пространстве: M – средняя аномалия, a – большая полуось, e –эксцентриситет, i – наклонение, w – аргумент перигелия, W – долгота восходящего узла.

Начальные данные на 23.05.2014 для астероида 99942 Apophis

Начальные данные на 23.05.2014 для астероида 2000 GX127

В Табл.3 и 4 приведены результаты интегрирования уравнений движения астероидов 99942 Apophis и 2000 GX127 методом Эверхарта с постоянным и переменным шагом. Сравнение элементов орбит на различные даты (с шагом в 100 дней) до сближения и после сближения производильсь с данными каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы.

Таблица 3 Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis с начальными данными от 23.05.2014

Таблица 4 Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2000 GX127 с начальными данными от 23.05.2014

Из полученных результатов можно сделать несколько выводов. Во-первых, наиболее чувствительный элемент орбиты – средняя аномалия M, так как наибольшие погрешности в значениях элементов орбит приходятся на этот элемент. Во-вторых, из сравнения результатов интегрирования двух астероидов видно, что при отсутствии тесных сближений у астероида, длительность интервала интегрирования не влияет на точность получаемых результатов. Кроме того, наличие тесного сближения значительно влияет на результаты расчѐтов. Чем более тесное сближение происходит, тем существеннее расхождение значений с каталогом.

Особенно характерно это проявляется для астероидов с тесными сближениями, например 99942 Apophis. Из результатов численного интегрирования, что орбита астероида после сближения значительно изменится. Сильно варьируется величина средней аномалии M, которая отвечает за положение тела на орбите, а так же величина большой полуоси a, определяющей форму орбиты, и параметры w и i, определяющие положение орбиты небесного тела в пространстве. Использование постоянного шага в методе Эверхарта предоставляет немного более точные результаты по сравнению с использованием переменного шага, в чем можно убедиться из результатов, представленных в сравнительной части таблицы.

Недостаток применения постоянного шага интегрирования состоит в том, что для каждого астероида требуется предварительно определить оптимальную величину шага интегрирования. При использовании метода Эверхарта с переменным шагом интегрирования, при регистрации тесного сближения астероида во время расчѐтов шаг интегрирования автоматически уменьшается. Такое изменение приводит к уменьшению скорости расчѐтов и увеличению погрешности в получаемых результатах.

В случае отсутствия тесных сближений интегрирование уравнений движения может проводиться как с постоянным, так и с переменным шагом без значительных различий в точности получаемых результатов.

Таким образом, для интегрирования уравнений движения астероидов, обладающих тесными сближениями, метод Эверхарта с постоянным шагом является более предпочтительным, чем метод с переменным шагом, так как выигрывает в точности при наличии тесных сближений у астероидов. Для астероидов, не имеющих тесных сближений с Зѐмлѐй предпочтительным является метод Эверхарта с переменным шагом интегрирования в силу более высокой скорости расчѐтов.

Работа выполнена при поддержке грантов НИР для аспирантов СамГТУ.

Список литературы

1. Everhart E., Implicit single-sequence methods for integrating orbits. // Celestial 2. mechanics, 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 35-55.

3.     Брумберг В.А., Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.

4.     Деревянка А.Е. Заусаев А.Ф. Сравнительный анализ математических моделей для оценки вероятности столкновения с Землей астероида Апофис //Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2(27), 2012. С. 192–195.

5.     Заусаев А.Ф., Заусаев А.А., Ольхин А.Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 26. 2004 С.43-47.

6.     Заусаев А.Ф., Заусаев А.А. Применение модифицированного метода Эверхарта для решения задач небесной механики // Матем. моделирование, 2008. Т. 20, № 11. С. 109–114.

7.     Савченко В.В. Использование модифицированного метода Эверхарта при прогнозировании и уточнении орбит комет // Бюлл.ИТА. 1984. 6. С. 324-328.