По данным Лаборатории Реактивного Движения NASA, на данный момент обнаружено более двенадцати тысяч астероидов, пересекающих орбиту Земли (http://neo.jpl.nasa.gov/stats/). Более 1300 астероидов, принадлежащих у группам Аполлона, Амура и Атона, считаются потенциально опасными и проходят через сферу действия Земли на интервале времени с 1800 по 2200 гг. Астероиды этих групп могут испытывать тесные сближения с Землѐй. Возмущения, полученные астероидом при тесном сближении, могут значительно отразиться на его дальнейшей траектории, что может привести к столкновению. Элементы орбит небесных тел вычисляются с определенными погрешностями, поэтому важно иметь возможность оценить влияние этих погрешностей на величину вероятности столкновения этого астероида с Землѐй.

Математические модели движения небесных объектов представляют собой системы дифференциальных уравнений. Данные систем интегрируются с помощью численных методов. В данной работе рассмотрено применение метода Эверхарта при интегрировании уравнений движения потенциально опасных астероидов. Метод Эверхарта является высокоточным численным методом, сочетающим в себе высокую точность (существуют реализации метода до 33 порядка точности) и хорошую скорость расчѐтов. Требуется установить, какой вариант реализации метода Эверхарта представляет более предпочтительную точность и скорость расчѐтов для потенциально опасных астероидов: интегрирование с постоянным шагом, или с переменным.

Был проведѐн сравнительный анализ реализаций метода Эверхарта 27 порядка с переменным и с постоянным шагом. При интегрировании с постоянным шагом величина шага определялась путѐм последовательных приближений. Интегрировались уравнения движения с шагом H, а затем с половинным шагом. Значения элементов орбиты, полученные с разными шагами на конечную дату сравнивались, и если различие было значительным, то деление шаг вновь уменьшался.

В качестве объекта для исследования был выбран потенциально опасный астероид 99942 Apophis, а так же астероид 2000 GX127, не имеющий тесных сближений с Землей. Начальные данные для интегрирования уравнений движения взяты с научно-информационного сайта SmallBodies.ru (http://smallbodies.ru/).Элементы орбиты, задающие положение небесного тела в пространстве: M – средняя аномалия, a – большая полуось, e –эксцентриситет, i – наклонение, w – аргумент перигелия, W – долгота восходящего узла.

Таблица 1

Начальные данные на 23.05.2014 для астероида 99942 Apophis

M, град.	a, а.е.	e	i, град.	w , град.	W , град.
320.712216	0.92211700	0.19119300	126.440782	204.209129	3.330478

Таблица 3.7

Начальные данные на 23.05.2014 для астероида 2000 GX127

M, град.	a, а.е.	e	i, град.	w , град.	W , град.
354.317437	1.14136500	0.36120000	4.708498	44.019766	20.239661

В Табл.3 и 4 приведены результаты интегрирования уравнений движения астероидов 99942 Apophis и 2000 GX127 методом Эверхарта с постоянным и переменным шагом. Сравнение элементов орбит на различные даты (с шагом в 100 дней) до сближения и после сближения производильсь с данными каталога орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы.

Таблица 3 Результаты интегрирования уравнений движения астероида 99942 Apophis с начальными данными от 23.05.2014

Астероид	99942 Apophis      Дата сближения 13.04.2029           Расстояние, а.е.					0,000253690
Элементы орбиты
Дата	M, град.	a, а.е.	e	w , град.	W , град.	i, град.
Данные каталога орбитальной эволюции
05.04.2027	149,134628	0,92232227	0,19115526	126,686717	203,890656	3,341124
05.03.2029	207,973531	0,92233151	0,19121525	126,698244	203,863082	3,342034
14.05.2031	236,046239	1,10148824	0,18858413	71,790435	203,550165	2,237175
22.05.2037	311,784193	1,10142341	0,18864778	71,868659	203,499458	2,237759
Результат интегрирования с переменным шагом
05.04.2027	149,1334774	0,922322345	0,191155558	126,6867348	203,8906476	3,341124436
05.03.2029	207,9722857	0,922331562	0,191215561	126,6982627	203,8630722	3,342034566
14.05.2031	247,1739096	1,084641233	0,183996085	76,01290769	203,5484882	2,308164608
22.05.2037	6,830568052	1,084569409	0,184006864	76,07134723	203,5114401	2,308865004
Результат интегрирования с постоянным шагом 0,03125 сут.
05.04.2027	149,1335056	0,922322352	0,191155547	126,6867364	203,8906469	3,341124514
05.03.2029	207,972322	0,92233157	0,191215549	126,6982606	203,8630716	3,342034623
14.05.2031	242,8702199	1,091120128	0,18555862	74,31621267	203,5555909	2,342717957
22.05.2037	345,2714726	1,090792277	0,185603758	74,46512082	203,5130307	2,343534224
Сравнение результатов
Дата	D M, град.	D a, а.е.	D e	D w , град.	D W , град.		D i, град.
Каталог и результаты с переменным шагом
05.04.2027	0,00115058	7,5482E-08	2,97517E-07	1,7835E-05	8,432E-06	4,3602E-07
05.03.2029	0,001245277	5,164E-08	3,11491E-07	1,8725E-05	9,794E-06	5,6555E-07
14.05.2031	11,12767064	0,016847007	0,004588045	4,222472686	0,001676798	0,070989608
22.05.2037	21,55909543	0,016854001	0,004640916	4,202688235	0,011982134	0,071106004
Каталог и результаты с постоянным шагом
05.04.2027	0,001122439	8,1713E-08	2,86696E-07	1,9401E-05	9,102E-06	5,1431E-07
05.03.2029	0,001209027	5,9971E-08	2,98561E-07	1,6552E-05	1,0351E-05	6,23E-07
14.05.2031	6,823980923	0,010368112	0,003025510	2,525777666	0,00542593	0,105542957
22.05.2037	33,48727963	0,010631133	0,003044022	2,596461823	0,013572673	0,105775224

Таблица 4 Результаты интегрирования уравнений движения астероида 2000 GX127 с начальными данными от 23.05.2014

Элементы орбиты
Дата	M, град.	a, а.е.	e		w , град.	W , град.	i, град.
Данные каталога орбитальной эволюции
08.01.2200	22.65529366	1,142455709	0,362282205		5,791791420	43,245706302	20,182347042
Результат интегрирования с переменным шагом
08.01.2200	21,11945273	1,142613635	0,362242512		5,808001126	43,24590349	20,18048274
Результат интегрирования с постоянным шагом 1 сут.
08.01.2200	21,230412100	1,14259619696	0,36225359043		5,8069975406	43,245873621	20,18040559
Сравнение результатов
Дата	D M, град.	D a, а.е.	D	e	D w , град.	D W , град.	D i, град.
Каталог и результаты с переменным шагом
08.01.2200	1,53584093	0,000158	3,97E-05		0,01621	0,000197	0,001864
Каталог и результаты с постоянным шагом
08.01.2200	1,42488156	0,00014	2,86E-05		0,015206	0,000167	0,001941

 

Из полученных результатов можно сделать несколько выводов. Во-первых, наиболее чувствительный элемент орбиты – средняя аномалия M, так как наибольшие погрешности в значениях элементов орбит приходятся на этот элемент. Во-вторых, из сравнения результатов интегрирования двух астероидов видно, что при отсутствии тесных сближений у астероида, длительность интервала интегрирования не влияет на точность получаемых результатов. Кроме того, наличие тесного сближения значительно влияет на результаты расчѐтов. Чем более тесное сближение происходит, тем существеннее расхождение значений с каталогом.

Особенно характерно это проявляется для астероидов с тесными сближениями, например 99942 Apophis. Из результатов численного интегрирования, что орбита астероида после сближения значительно изменится. Сильно варьируется величина средней аномалии M, которая отвечает за положение тела на орбите, а так же величина большой полуоси a, определяющей форму орбиты, и параметры w и i, определяющие положение орбиты небесного тела в пространстве. Использование постоянного шага в методе Эверхарта предоставляет немного более точные результаты по сравнению с использованием переменного шага, в чем можно убедиться из результатов, представленных в сравнительной части таблицы.

Недостаток применения постоянного шага интегрирования состоит в том, что для каждого астероида требуется предварительно определить оптимальную величину шага интегрирования. При использовании метода Эверхарта с переменным шагом интегрирования, при регистрации тесного сближения астероида во время расчѐтов шаг интегрирования автоматически уменьшается. Такое изменение приводит к уменьшению скорости расчѐтов и увеличению погрешности в получаемых результатах.

В случае отсутствия тесных сближений интегрирование уравнений движения может проводиться как с постоянным, так и с переменным шагом без значительных различий в точности получаемых результатов.

Таким образом, для интегрирования уравнений движения астероидов, обладающих тесными сближениями, метод Эверхарта с постоянным шагом является более предпочтительным, чем метод с переменным шагом, так как выигрывает в точности при наличии тесных сближений у астероидов. Для астероидов, не имеющих тесных сближений с Зѐмлѐй предпочтительным является метод Эверхарта с переменным шагом интегрирования в силу более высокой скорости расчѐтов.

Работа выполнена при поддержке грантов НИР для аспирантов СамГТУ.

 

 

Список литературы

1. Everhart E., Implicit single-sequence methods for integrating orbits. // Celestial 2. mechanics, 1974. Vol. 10, no. 1. Pp. 35-55.

3.     Брумберг В.А., Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. 382 с.

4.     Деревянка А.Е. Заусаев А.Ф. Сравнительный анализ математических моделей для оценки вероятности столкновения с Землей астероида Апофис //Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2(27), 2012. С. 192–195.

5.     Заусаев А.Ф., Заусаев А.А., Ольхин А.Г. Численное интегрирование уравнений движения больших планет (Меркурий-Плутон) и Луны с учетом радиолокационных наблюдений // Вестник Самарского государственного технического ун-та, Серия: Физ.-мат. науки. Вып. 26. 2004 С.43-47.

6.     Заусаев А.Ф., Заусаев А.А. Применение модифицированного метода Эверхарта для решения задач небесной механики // Матем. моделирование, 2008. Т. 20, № 11. С. 109–114.

7.     Савченко В.В. Использование модифицированного метода Эверхарта при прогнозировании и уточнении орбит комет // Бюлл.ИТА. 1984. 6. С. 324-328.