О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ РАСШИРЕНИЙ ОРЕ

В данной статье символом R обозначено ассоциативное кольцо и F – инъективный эндоморфизм этого кольца. В статье изучены некоторые свойства расширения Оре R[x, F], в котором операция умножения определена соотношением 𝑥𝑟 = 𝐹(𝑟)𝑥 для всех 𝑟 ∈ 𝑅. Эндоморфизм F естественным образом продолжается на кольцо R[x, F], если положить 𝐹(𝑥) = 𝑥. Введем обозначение 𝑆 = 𝑅[𝑥, 𝐹]. Основными результатами являются теоремы 1 и 2. Теорема 1 показывает, что расширенный центроид кольца S изоморфен расширенному центроиду кольца 𝐴〈𝑥, 𝑓〉. В теорема 2 найдены условия, достаточные для того, чтобы расширение Оре S было первичным кольцом.
Ключевые слова: расширения Оре, кольца частных, обобщенный центроид.

 
ON SOME PROPERTIES OF ORE EXTENSIONS
Mushrub V. A., Vybornova I.I., Ivankova G. V., Mochalina E. P.

Abstract

In this paper the symbol R denotes an associative ring and F is an injective endomorphism of this ring. We  study some properties of the Ore extension R[x, F], with multiplication defined 𝑥𝑟 = 𝐹(𝑟)𝑥 for all 𝑟 ∈ 𝑅. The endomorphism F extends in a natural way to the ring R[x, F], if we set 𝐹(𝑥) = 𝑥. Let S = R[x, F]. The main results of the present work are Theorems 1 and 2. Theorem 1 shows that the extended centroid of the ring S is isomorphic to the extended centroid of the ring 𝐴〈𝑥, 𝑓〉. Theorem 2 gives sufficient conditions for the Ore extension S to be a prime ring.


Напомним, что существует наименьшее кольцо A, содержащее кольцо R и обладающее автоморфизмом 𝑓: 𝐴 → 𝐴 продолжающим эндоморфизм F. Расширения Оре являются классическим
объектом исследования R[x, F] в современной алгебре и имеют различные приложения в других областях современной математики (см. [3], [4], [5])
Определение (см. [2], [7], [9]). Путь A – кольцо и f – автоморфизм кольца A. Пара (A, f) называется расширением Кона-Джордана пары (R, f), если 1) кольцо R является подкольцом кольца A;
2) ограничение 𝑓|𝑅 автоморфизма f на кольцо R совпадает с эндоморфизмом F;
3) 𝐴 = ⋃ 𝑓−𝑛(𝑅) ∞𝑛=0 .
Решетка идеалов кольца A изучена в работе [18].
Всюду далее A и f – кольцо и автоморфизм, образующие расширение Кона-Джордана пары (R, f). Как известно (см. [8], [17]), кольцо A является единственным с точностью до изоморфизма.
Напомним, что идеал I кольца R называется F-инвариантным, если 𝐹(𝐼) ⊆ 𝐼 (см. [11], [12], [13]). Идеал I кольца R называется F-идеалом, если 𝐹−1 (𝐼) = 𝐼 (см. [6], [7]). Обозначим через Φ(𝐴) и Γ(𝑅) множества
всех ненулевых f-идеалов кольца A и всех F-инвариантных идеалов кольца R, соответственно.
Лемма 1. Если I является F-инвариантным идеалом кольца R, то ⋃ 𝑓−𝑛(𝐼) ∞𝑛=0 является f-идеалом кольца A:


Утверждения “(3)⇒(4)” и “(4)⇒(3) доказываются аналогично.
(1)⇒(3). Пусть I и K – ненулевые f-идеалы кольца 𝐴[𝑥, 𝑓]. Пусть n – показатель степени, такой, что оба этих идеала содержат многочлена степени n. Обозначим через 𝐼0 и 𝐾0 множества старших  коэффициентов этих идеалов при 𝑥𝑛. Заметим, что 𝐼0 и 𝐾0 являются, очевидно, ненулевыми левыми f-идеалами кольца A.
Поэтому 𝐼0𝑥𝑛𝐾0𝑥𝑛 = 𝐼0𝑓𝑛(𝐾0)𝑥2𝑛 = 𝐼0𝐾0𝑥2𝑛 ≠ 0 и, следовательно, 𝐼𝐾 ≠ 0.
(3)⇒(1). Пусть I и K – ненулевые f-идеалы кольца 𝐴. Тогда 𝐼[𝑥, 𝑓] и 𝐾[𝑥, 𝑓] – ненулевые f-идеалы кольца 𝐴[𝑥, 𝑓]. Поэтому найдутся 𝑦 ∈ 𝐼, 𝑧 ∈ 𝐾 и неотрицательное целое число n такие, что 𝑦𝑥𝑛𝑧 = 𝑦𝑓𝑛(𝑧)𝑥𝑛 ≠ 0.
Но 𝑓𝑛(𝑧) ∈ 𝐾 и, следовательно, IK≠ 0.
(2) ⇒(5). Обозначим через 𝐴〈𝑥, 𝑓〉 кольцо косых многочленов Лорана. Ясно, что расширение Оре S можно рассматривать как подкольцо кольца 𝐴〈𝑥, 𝑓〉, порожденное множеством 𝑅⋃{𝑥}.
Лемма 4 (см. [1, предложения 4.3.8 и 4.6.1]). Пусть B – кольцо и D – множество левых делителей в кольце B.
Обозначим через 𝐷−1𝐵 классическое левое кольцо частных кольца B относительно множества D, а через 𝑄𝑚(𝐵) максимальное левое кольцо частных кольца B. Тогда существует инъективный гомомрфизм колец 𝜀: 𝐷−1𝐵 → 𝑄𝑚(𝐵) такой, что 𝜀(𝑏) = 𝑏 для всех элементов 𝑏 ∈ 𝐵 и 𝜀(𝑑−1𝑏) = 𝜀(𝑑−1)𝑏 для всех элементов 𝑏 ∈ 𝐵 и 𝑑 ∈ 𝐷. Более того, кольца 𝑄𝑚(𝐵) и 𝑄𝑚(𝐷−1𝐵) изоморфны.
Определение расширенного центроида и связанные с ним вопросы могут быть найдены в работе [16].
Теорема 1. Расширеннный центроид кольца S изоморфен расширенному центроиду кольца 𝐴〈𝑥, 𝑓〉.
Доказательство. Несложно проверить, что множество 𝑋 = {𝑥𝑛: 𝑛 ≥ 0} является множеством левых делителей в кольце S. Кроме того, в силу леммы 4, что 𝐴〈𝑥, 𝑓〉 = 𝑋−1𝑆 – классическое левое кольцо частных кольца S (см. [14]). По лемме 4 максимальные левые кольца частных колец S и 𝐴〈𝑥, 𝑓〉 изоморфны.
Следовательно, расширенные центроиды этих колец, являющиеся центрами их максимальных колец частных, также изоморфны.
Будем говорить, что кольцо R удовлетворяет условию F-стабильности для левых аннуляторов, если для каждого F-инвариантного идеала I этого кольца и каждого положительного целого числа n  выполняется равенство ℓ𝑅 (𝐼) = ℓ𝑅 (𝐹𝑛(𝐼)).
Теорема 2. Предположим, что кольцо R является F-первичным и удовлетворяет условию F-стабильности для левых аннуляторов.
Тогда:
1) ℓ𝑅 (𝐼) = 0 для любого ненулевого F-инвариантного идеала I кольца R;
2) расширение Оре S является первичным кольцом.
Доказательство. 1) Из условия F-стабильности следует эквивалентность следующих равенств: 𝑓(𝑟)𝐼 = 0;
𝑓(𝑟)𝑓(𝐼) = 0; 𝑟𝐼 = 0. Поэтому ℓ𝑅 (𝐼) оказывается F-идеалом кольца R.
2) Пусть I – ненулевой идеал кольца S. Обозначим через 𝐼0 множества старших коэффициентов этого идеала.
Так как 𝑥(𝑟0𝑥𝑛 + 𝑟1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑟𝑛 ) = 𝐹(𝑟0)𝑥𝑛+1 + 𝐹(𝑟1)𝑥𝑛 + ⋯ + 𝐹(𝑟𝑛 )𝑥, то 𝐼0 является, очевидно, ненулевым левым F- инвариантным идеалом кольца R.
Отсюда, ℓ𝑅 (𝐼0) = ℓ𝑅 (𝐼0𝑅) = 0. Пусть 𝑝 = 𝑝0𝑥𝑛 + 𝑝1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑝𝑛 ∈ 𝑆, 𝑝0 ≠ 0
Тогда из условия 𝑝𝐼 = 0 вытекает, что 𝑝0𝑥𝑛𝐼0 = 𝑝0𝐹𝑛 (𝐼0)𝑥𝑛 = 0 и, следовательно, 𝑝0 ∈ ℓ𝑅 (𝐹𝑛(𝐼0)) = ℓ𝑅 (𝐼0) = 0 в силу условия F-стабильности. Полученное противоречие показывает, что 𝑝𝐼 = 0 для любого
ненулевого многочлена 𝑝 ∈ 𝑆 и любого ненулевого идеала I кольца S, то есть кольцо S первично.
Результаты данной работы могут быть использованы в учебном процессе (см. [15]).
Список литературы

1.                   Ламбек И. Кольца и модули. – М.: Факториал Прес. – 2005. –288 cтр.

2.                   Мочалина Е.П. Об одном критерии аналитической продолжимости функции CC отрезка // Успехи математических наук.– 2003.– т.58, №6. – C. 161-162.

3.                   Мочалина Е.П. Аналитическая продолжимость функций и рациональные приближения в некоторых пространствах//диссертация на соискание ученой степени кандидата физико- математических наук, 2006, 105 стр.

4.                   Мочалина Е.П., Вячеславов Н.С. Рациональные приближения функций типа маркова- стилтьеса в пространствах ХАРДИ HP, 0

5.                   Мочалина Е.П., Иванкова Г.В., Маслякова И.Н., Татарников О.В. Совместное оценивание уровня подготовки и сложности задания//Образование, наука и экономика в вузах и школах. интеграция в международное образовательное пространство. Труды международной научной конференции. – 2015. – C 147-152.

6.                   Мушруб В.А. Критерий полупростоты кольца косых многочленов// Фундаментальная и прикладная математика. 1995. Т. 1. № 3. С. 701 –709.

7.                   Мушруб В.А. О нильпотентности подколец косых групповых колец// Фундаментальная и прикладная математика. — 1996. — Т. 2, № 4. — С. 1227–1233.

8.                   Мушруб В.А. О размерности Голди расширений Оре со многими переменными//Фундаментальная и прикладная математика. — 2001. — Т. 7, №4 — С. 1107–1121.

9.                   Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: Автореф. дис. канд. физ-мат. наук. — М.,1992. — 11 с.

10.                Мушруб В.А. Эндоморфизмы и радикалы колец: диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук,. — М., 1992. — 158 с.

11.                Мушруб В.А., Сухорукова И.В., Беляев А.А., Павловский В.В. Об инвариантности строго наследственных радикалов относительно эндоморфизмов// Инновации и инвестиции. — 2016, № 4.— С. 150-154.

12.                Пчелинцев С.В., Гришин А.В., Красильников А.Н., Мушруб В.А. Тождества алгебраических объектов // Отчет о НИР № 97-01-00785 (Российский фонд фундаментальных исследований).

13.                Сухорукова И., Мушруб В. The Jacobson radical and ring endomorphisms // Уральский научный вестник. — 2016. — Т. 4. — С. 155-164.

14.                Туганбаев А.А. Теория колец. Арифметические кольца и модули. – М.: МЦНМО, 2009. – 472 с.

15.                Maslyakova I., Mochalina E., Tatarnikov O., Ivankova G. Model of the recursive estimation of the level of knowledge of the student// Менеджмент и бизнес-администрирование. – 2015,№ 3. – с. 71-76

16.                Mushrub V.A. Extended centroid of a ring of skew polynomials// Russian Mathematical Surveys.– 1997. – Т. 52. – С. 414.

17.                Mushrub V. A., Vybornova I.I., Ivankova G. V., Mochalina E. P. Bijective extensions of endomorphisms and essential right ideals. IV Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии естественных и математических наук», г. Ростов-на-Дону. – Cборник научных трудов по итогам международной научно-практической конференции. Инновационный центр развития образования и науки. – 2017.

18.                Mushrub V.A., Sukhorukova I.V., Mochlina E. P., Ivankova G.V. Some properties of the lattice of f-closed right ideals.// В печати.

19.                Mushrub V.A., Sukhorukova I.V., Mochlina E. P., Ivankova G.V. On f-prime rings and their f- rings of quotients// В печати.