ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СЛУЧАЙНЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

В последние десятилетия в различных областях прикладной математики активно используются уравнения с последействием (запаздыванием, сдвигом, лагом), подклассы которых именуются дифференциально- разностными уравнениями (ДРУ), дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, уравнениями с запаздыванием, нейтральными уравнениями [1, 7, 9, 11] и т.д.

Реальные явления могут моделироваться системами уравнений с последействием и более сложной структуры, например уравнениями, содержащими несколько дискретных лагов, распределенные и переменные запаздывания, а также их иные комбинации.

Стохастические дифференциальные уравнения с запаздыванием и, в частности, дифференциально- разностные уравнения (СДРУ) являются обобщениями и детерминистических уравнений с запаздыванием и ДРУ, и стохастических обыкновенных дифференциальных уравнений (СОДУ) [6, 10]. Задачи с временным лагом имеют более богатую структуру, но, как правило, у них отсутствуют аналитические решения в замкнутой форме. Поэтому для интегрирования даже детерминистических ДРУ требуются приближенные численные процедуры, а анализ явлений с запаздыванием является, в основном, количественным.

Следующим шагом в сторону усложнения моделей различных процессов является трактовка запаздываний как случайных величин и функций [5]. В частности, модели такого вида возникают при описании систем, меняющих свою структуру под воздействием случайных факторов.

Обычно целями исследования указанных выше систем  является получение  различных вероятностных характеристик векторов состояния систем как векторных случайных процессов. Наиболее полным будет решение, приводящее к определению одноточечной или многоточечной (переходной) плотности вероятности, а также характеристической функции изучаемого процесса, которые в зависимости от постановки задачи могут быть получены с разной степенью детализации. Но, как правило, на практике ограничиваются числовыми характеристиками вектора состояния, включающими вектор функций математических ожиданий, матрицу функций ковариации (дисперсии) и матрицу ковариационных функций. Но даже в этом случае для решения практических задач требуется разработка специализированного программного обеспечения, а в процессе компьютерных расчетов – значительных временных затрат.

Целью настоящей работы является разработка схем алгоритмов некоторых из определенных выше систем.

Эти алгоритмы основаны на использовании понятий условных числовых характеристик случайных величин.

Пусть S – однородная дискретная цепь Маркова [2], которая в момент времени t ³ t0 может находиться в одном из состояний S1, S2, ..., SK, причем переходы из состояние в состояние могут происходить только в моменты времени tk = t0 + k h, h > 0, k = 0, 1, ..., N. Будем считать, что переходы из состояние в состояние за один шаг описываются матрицей переходных вероятностей P = {pij, i, j = 1, 2, ..., K}, где

Список литературы

1.     Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Элементы современной теории функционально- дифференциальных уравнений. Методы и приложения. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002.– 384 с.

2.     Волков И.К., Зуев С.М., Цветкова Г.М. Случайные процессы: учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 448 с.

3.     Кельтон В., Лоу А. Имитационное моделирование: Классика CS. – 3-е изд. – СПб.: Питер; Киев: Издательская группа BHV, 2004. – 847 с.

4.     Полосков И.Е. Расширение фазового пространства в задачах анализа дифференциально-разностных систем со случайным входом // Автоматика и телемеханика. – 2002. – № 9. – С. 58–73.

5.     Солодов А.В., Солодова Е.А. Системы с переменным запаздыванием. – М.: Наука, 1980. – 384 с.

6.     Царьков Е.Ф. Случайные возмущения дифференциально-функциональных уравнений. – Рига: Зинатне, 1989. – 421 с.

7.     Эльсгольц Л.Э., Норкин С.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющим аргументом. – М.: Наука, 1971. – 296 с.

8.     Arnold L. Random dynamical systems. – Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 1998. – 586 p.

9.     Hale J.K, Lunel S.M.V. Introduction to functional differential equations. – New York: Springer Science+Business Media, 1993. – X+447 p.

10. Kushner H.J. Numerical methods for controlled stochastic delay systems. Boston: Birkhauser, 2008. – XIX, 281 p.

11. Lakshmanan M., Senthilkumar D.V. Dynamics of nonlinear time-delay systems. – Berlin, Heidelberg: Springer- Verlag, 2010. – XVII+313 p.

12. Wolfram S. The Mathematica Book: 5th ed. – Champaign, Il: Wolfram Media, 2003. – 1488 p.