09 марта 2016г.
Неприводимые представления группы SU(3) изучены достаточно хорошо. В работе [1] построен базис произвольного неприводимого представления SU(3) , а в работах [2,3] найден явный вид матричных
элементов. Однако все полученные результаты относятся к каноническому вложению SU(3) SU(2) . В приложения х же возни кает необ ходимость на хождени я матричны х элемен тов и построения базисов неприводимых представлений группы SU(3) при редукции SU(3) SO(3) . В частности такая задача возникае т при построении базиса для разложения во лновой функции сис темы трѐ х тел. Так , гипермомент системы - K и число , характеризующее перестановочные свойства волновой функции системы трѐх частиц [4], связаны с числами, определяющими неприводимое представление группы SU(3) , а полный орбитальный момент L и его проекция M определяют неприводимые представления групп SO(3) и SO(2) . В ряде работ [4-7] обсуждался вопрос построения базиса гиперсферических функций для системы трѐх тел. Однако в предлагаемых решениях с троился базис ортогональный не по всем квантовым числам. Трудность состоит в том, что редукция SU(3) SO(3) принадлежит к числу нерегулярных вложений и не может быть осуществлена стандартными методами. Проблеме построения базиса неприводимого представления группы SU(3) при редукции SU(3) SO(3) посвящены работы [8,9]. Отдельный интерес представляют результаты работы [10], в которой построены неприводимые представления группы SL(3,R) и найдены матричные элементы генераторов при редукции на группу SO(3) . Отметим также работу [12], в которой неканонический базис, отвечающий редукции SU(3) SO(3) , строится путѐм ортогонализации переполненного набора векторов Эллиота.
В предлагаемой работе получено интегральное представление матричных элементов неприводимых представлений группы SU(3) при редукции SU(3) SO(3) . На первом этапе вычисляются матричные элементы неприводимых унитарных представлений связной компоненты GL (3,R) группы GL(3,R) при редукции GL (3,R) SO(3) . Затем рассматриваются конечномерные неунитарные представлени я группы SL(3,R) . Эти представления, как известно, могут быть продолжены до представлений группы SL(3,C) ,
являющейся комплексификацией группы SL(3,R) . При этом сохраняется неприводимость представлений.
После чего нам остаѐтся сузить это конечномерное неунитарное представление на группу SU(3) , являющуюся так же, как и SL(3,R) вещественной формой группы SL(3,C) . Построенное таким образом представление группы SU(3) является унитарным и редуцировано согласно цепочке SU(3) SO(3) .
Рассмотрим группу G GL (3,R) вещественных матриц третьего порядка с положительным определителем. Будем строи ть предс тавление G , исполь зуя разложение Ивасавы. В нашем случае
G GL (3,R) представляется в следующем виде:
G = KAN ,
где K = SO(3) - максимальная компактная подгруппа, A - абелева подгруппа, состоящая из диагональны х матриц с положительными элементами, N - максимальная ни льпо тентная по дгруппа, состоящая из нижних треугольны х матриц с единицами на гла вной диагона ли. Таким образом любой элемент gG однозначно представляется в виде:
g =kan ,
где: k∈K,a∈A,n∈N , при этом:
Спис ок лите ратуры
1.
Биденхарн Л ., Дж.Лаук. Угловой
момент в квантовой
физике . Т.1(3.6). М ., Мир, 1984.
2.
Виленкин Н.Я.. Сб. научны х трудов МГЗПИ, 39, 77, 1974.
3.
Гантма хер
Р.Ф.. Теория матриц. М., ―Нау ка‖, 1967.
4.
Гусева И.С., Ю.Ф.Смирнов, В.Н.Толс той, Ю.И.Харитонов. Препринт
ЛИЯ Ф-999, 1984.
5.
Нири Ю., Я.А.Смородинский. ЯФ, 9, 882, 1969.
6.
Пустовалов В.В.,.Смородинский Я.А.,
ЯФ, 10, 1287, 1969.
7.
Пустовалов В.В.,.Симонов Ю.А. ЖЭТФ, 51, 345, 1966. 8. Эфрос В.Д.., 13, 1318, 1971.
9. von Baeyer H.C., R.T.Sharp. Nuc l.Phys., A140, 118, 1970.
10. Ciftan M. , J.Math.Phys., 10, 1635, 1969.
11.
Chacon E., M.Moshinsky. Phys.Letters, 23, 10, 1966.
12.
Sijacki Dj., J.Math.Phys., 16, 298, 1975.
13.
Sharp R.T., H.C.von
Baeyer, S.C.Pieper. Nucl.Phys., A127, 513, 1969.
