Моделирование социально-экономических процессов по своей сути является воспроизведением данных процессов в малых экспериментальных формах, в искусственно созданных условиях. Чаще всего для этих целей используется математическое моделирование, описывающее социально-экономические процессы при помощи математических зависимостей.

   Созданная математическая модель обычно подкрепляется реальными статистическими данными, а результаты расчетов, выполненные в рамках построенной модели, позволяют строить прогнозы и проводить объективные оценки.

   По фактору времени принято выделять статические и динамические модели. Статические модели описывают поведение объекта в какой-либо конкретный момент времени. Данные модели применяют для описания статических систем, путем характеристики их состояния в заданный момент времени. При этом полученные, при помощи статического моделирования данные, не дают достоверного представления о динамической системе, можно судить лишь о ее поведении в строго определенный момент времени.

   Динамические модели – модели, учитывающие взаимосвязи переменных во времени. Такие модели не сводятся к простой сумме ряда статических моделей, а описывают силы и взаимодействия, определяющие ход процессов в экономических  системах. Модель является динамической, если  в данный момент времени  она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

   В экономических исследованиях очень часто для изучения факторов, определяющих уровень и динамику экономических процессов, используются модели корреляционно-регрессионного типа. При этом задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между изменяющимися признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. Задачи регрессионного анализа заключаются в выборе типа модели, установлении степени влияния независимых переменных на зависимую переменную и определении расчетных значений зависимой переменной.

   Модели корреляционно-регрессионного типа в зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, бывают простого (парного) и множественного вида. В свою очередь, парная регрессия и корреляция может определяться как наличием линейных связей между переменными, так и наличием нелинейных связей.

   Простая регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной y рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной x, то есть данная модель имеет вид:Моделирование социально-экономических процессов по своей сути является воспроизведением данных процессов в малых экспериментальных формах, в искусственно созданных условиях. Чаще всего для этих целей используется математическое моделирование, описывающее социально-экономические процессы при помощи математических зависимостей.

   Созданная математическая модель обычно подкрепляется реальными статистическими данными, а результаты расчетов, выполненные в рамках построенной модели, позволяют строить прогнозы и проводить объективные оценки.

   По фактору времени принято выделять статические и динамические модели. Статические модели описывают поведение объекта в какой-либо конкретный момент времени. Данные модели применяют для описания статических систем, путем характеристики их состояния в заданный момент времени. При этом полученные, при помощи статического моделирования данные, не дают достоверного представления о динамической системе, можно судить лишь о ее поведении в строго определенный момент времени.

   Динамические модели – модели, учитывающие взаимосвязи переменных во времени. Такие модели не сводятся к простой сумме ряда статических моделей, а описывают силы и взаимодействия, определяющие ход процессов в экономических  системах. Модель является динамической, если  в данный момент времени  она учитывает значения входящих в нее переменных, относящихся как к текущему, так и к предыдущим моментам времени.

   В экономических исследованиях очень часто для изучения факторов, определяющих уровень и динамику экономических процессов, используются модели корреляционно-регрессионного типа. При этом задачи корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты известной связи между изменяющимися признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов, оказывающих наибольшее влияние на результативный признак. Задачи регрессионного анализа заключаются в выборе типа модели, установлении степени влияния независимых переменных на зависимую переменную и определении расчетных значений зависимой переменной.

   Модели корреляционно-регрессионного типа в зависимости от количества факторов, включенных в уравнение регрессии, бывают простого (парного) и множественного вида. В свою очередь, парная регрессия и корреляция может определяться как наличием линейных связей между переменными, так и наличием нелинейных связей.

   Простая регрессия представляет собой модель, где среднее значение зависимой (объясняемой) переменной y рассматривается как функция одной независимой (объясняющей) переменной x, то есть данная модель имеет вид:

 𝒚=𝒇 (𝒙) . (1)

Парная регрессия достаточна, если имеется доминирующий фактор, который и используется в качестве объясняющей переменной. В уравнении регрессии корреляционная по сути связь признаков представляется в виде функциональной связи, выраженной соответствующей математической функцией. Практически в каждом отдельном случае величина y, складывается из двух слагаемых:

где 𝑦𝑗 – фактическое значение результативного признака; 𝑦 _𝑥𝑗 – теоретическое значение результативного признака, найденное по соответствующему уравнению регрессии; 𝜀𝑗 – случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического, найденного по уравнению регрессии.

   Случайная величина 𝜀 включает влияние неучтенных в модели факторов, случайных ошибок и особенностей измерения. Ее присутствие в модели обусловлено тремя источниками: спецификацией модели, выборочным характером исходных данных и особенностями измерения переменных.

   При построении регрессионных моделей могут использоваться как линейные, так и нелинейные функции. 

   Множественная регрессия – уравнение связи с несколькими объясняющими (независимыми) переменными:

𝑌=𝑓 (𝑥1,𝑥2,… 𝑥𝑚 ). (3)

   Множественная регрессия широко используется при решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а так же совокупное воздействие их на моделируемый показатель.

    Основной недостаток использования регрессионных моделей в экономике – не всегда достоверные результаты прогнозов, рассчитанных по данным моделям. Несмотря на то, что данные модели при проверке и обладают высоким качеством, но они не учитывают влияние, оказываемое предыдущими результатами на результат текущий. Это может в определенных случаях искажать прогнозные значения, полученные при помощи данных моделей.

   Для большей достоверности полученных прогнозов в экономической и управленческой деятельности стоит учитывать динамические особенности прогнозируемых явлений.

   Одним из типов динамических моделей, применяемых для исследования социально-экономических процессов, являются модели с распределенным лагом, в которых значения переменных за прошлые периоды непосредственно включены в модель.

   В общем виде рассмотрим алгоритм построения модели социально-экономических процессов при помощи построения динамической модели с распределенным лагом – моделью с лагами Алмон:

𝑦𝑡=𝑏0+𝑏1∗𝑥𝑡+𝑏2∗𝑥_𝑡−1+𝑏3∗𝑥_𝑡−2+⋯+𝑏_𝐿+1∗𝑥_𝑡−𝐿+𝜀_𝑡, (4)

где 𝐿 - максимальная величина лага; 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, 𝑏𝐿+1– параметры оценок;

𝑡 – текущий момент времени; 𝜀 - случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.

Данный метод хорошо описан в труде Елисеевой И.И. [1] и реализован на примере моделирования зависимости ВВП от инвестиций в экономику США. Исходная статистическая информация представлена в Табл.1.

Таблица 1 Динамика объема ВВП США (у) и валовых внутренних инвестиций в экономику США (х) в ценах 1987 г., млрд долл. США

Год	ВВП (y)	Инвестиции (x)
1981	1931,3	296,4
1982	1973,2	290,8
1983	2025,6	289,4
1984	2129,8	321,2
1985	2218	343,3
1986	2343,3	371,8
1987	2473,5	413
1988	2622,3	438
1989	2690,3	418,6
1990	2801	440,1
1991	2877,1	461,3
1992	2875,8	429,7
1993	2965,1	481,5
1994	3107,1	532,2
1995	3268,5	591,7
1996	3248,1	543
1997	3221,7	437,6
1998	3380,8	520,6
1999	3533,2	600,4
2000	3703,5	664,6
2001	3796,8	669,7
2002	3776,3	594,4

2003	3843,1	631,1
2004	3760,3	540,5
2005	3906,6	599,5
2006	4148,5	757,5
2007	4279,8	745,9
2008	4404,5	735,1
2009	4540	749,3
2010	4781,6	773,4
2011	4836,9	789,2
2012	4884,9	749,5
2013	4848,4	672,6

Пусть максимальная длина лага равна четырем, тогда вид лаговой модели будет следующим:
𝒚𝒕=𝒃𝟎+𝒃𝟏∙𝒙𝒕+𝒃𝟐∙𝒙_𝒕−𝟏+𝒃𝟑∙𝒙_𝒕−𝟐+𝒃𝟒∙𝒙𝒕−𝟑+𝒃𝟓∙𝒙_𝒕−𝟒+𝒆𝒕. (5)

Для определения коэффициентов модели воспользуемся обычным МНК, с помощью стандартной функции

Excel Линейн. Результаты моделирования представлены на Рисунке 1.

Рис.1.

Конкретный вид модели:

Из рисунка видно, что совпадение экспериментальных данных и результатов моделирования достаточно

неплохое.  Подтверждением  тому  является  высокий  коэффициент  детерминации  X2 =  0,9914.   Однако коэффициенты при лаговых переменных Xt −1   и Xt −3   являются статистически незначимыми.  Кроме того применение метода МНК к таким моделям в общем случае некорректно по ряду причин:

1.        Высокий уровень мультиколлинеарности факторов модели;

2.        При большой величине лага снижается число наблюдений, используемых при моделировании, что естественным образом ведет к снижению числа степеней свободы;

3.        Неизбежным также является наличие автокорреляции остатков.

Вышеперечисленные факторы свидетельствуют о значительных нарушениях предпосылок МНК, что приводит к неэффективным, а зачастую и к смещенным оценкам.

Следует отметить, что   несостоятельность модели становится более выраженной при увеличении количества коэффициентов, когда по смыслу задачи ожидается влияние с большим запаздыванием.

Для преодоления этих трудностей обычно предлагается та или иная форма «гладкости» распределения лагов. Это приводит к уменьшению числа оцениваемых параметров.

Пусть модель с распределенным лагом порядка 𝐿имеет вид:

𝑦𝑡=𝑏0+𝑏1∙𝑥𝑡+𝑏2∙𝑥𝑡−1+𝑏3∙𝑥𝑡−2+⋯+𝑏𝐿+1∙𝑥𝑡−𝐿+𝑒𝑡. (7)

В преобразовании Алмон коэффициенты модели представлены степенными полиномами, факторами которых является величина лага. Для полинома k – ой степени эта зависимость имеет вид:

Если подставить значения (8) в исходную модель (7), то получим модель вида:

Для нашего примера, с максимальным лагом 𝐿=4, модель преобразуется к виду:

𝒚 𝒕=𝒃𝟎+𝒄𝟎∙𝒛𝟎+𝒄𝟏∙𝒛𝟏+𝒄𝟐∙𝒛𝟐, (10)

где 𝑧0=𝑥𝑡+𝑥𝑡−1+𝑥𝑡−2+𝑥𝑡−3+𝑥𝑡−4;

𝒛𝟏=𝒙𝒕−𝟏+𝟐∙𝒙𝒕−𝟐+𝟑∙𝒙𝒕−𝟑+𝟒∙𝒙𝒕−𝟒;

𝑧2=𝑥𝑡−1+4∙𝑥𝑡−2+9∙𝑥𝑡−3+16∙𝑥𝑡−4.

Оценим (10) с помощью МНК. Результаты моделирования представлены на Рисунке 2.

Рис.2.

Коэффициенты модели Алмон:

𝒃𝟎=𝟐𝟗𝟎,𝟎𝟕𝟏𝟒, 𝒄𝟎=𝟏,𝟗𝟒𝟐𝟔𝟎𝟕, 𝒄𝟏=−𝟎,𝟗𝟓𝟔𝟗𝟐, 𝒄𝟐=𝟎,𝟏𝟗𝟐𝟖𝟓𝟐.

Подставив эти значения в (4) получим модель с распределенным лагом

𝒚 𝒕=𝟐𝟗𝟎,𝟎𝟕+𝟏,𝟗𝟒𝟑∙𝒙𝒕+𝟏,𝟏𝟕𝟗∙𝒙𝒕−𝟏+𝟎,𝟖∙𝒙𝒕−𝟐+𝟎,𝟖𝟎𝟖∙𝒙𝒕−𝟑+ 𝟏,𝟐𝟎𝟏∙𝒙𝒕−𝟒 (11)

   В этом случае коэффициент детерминации даже несколько ниже, чем в предыдущем случае R² = 0,99, однако все коэффициенты являются статистически значимыми. Данный метод имеет два неоспоримых преимущества. Во-первых, он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов. Во-вторых, при относительно небольшом количестве переменных, которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить модели с распределенным лагом любой длины.

  Результаты исследований с использованием этих преобразований показали, что, несмотря, на некоторое снижение коэффициента детерминации, эффективность оценок повышается, они становятся статистически более значимыми. Однако не снимается главная проблема – наличие мультиколлинеарности. Кроме того величина лага должна быть известна заранее.

    Выбор длины лага меньше реального приведет к искажению динамики процесса: не будут учтены факторы, оказывающие значительное влияние на результат. В этом случае остатки будут неслучайными и оценки по МНК окажутся неэффективными и смещенными. Проявление этих проблем будет заметным особенно при определении прогнозных значений зависимой переменной с использованием других статистических данных.

   Выбор большей величины лага по сравнению с ее реальным значением приведет к включению в модель слабо значимых факторов, а, следовательно, к снижению эффективности оценок. Кроме того при этом происходит уменьшение объема выборки, используемой для моделирования, что ведет также к снижениюэффективности и состоятельности оценок.

   Для моделирования динамики можно использовать непрерывную модель, представленную дифференциальнымуравнением. Наиболее предпочтительным является использование линейных уравнений первого и второго порядков:

𝑇 ∙ 𝑦′ 𝑡 + 𝑦 𝑡 = 𝑦уст 𝑡 , (12)

𝑇² ∙ 𝑦′′ 𝑡 + 2𝑇𝜁 ∙ 𝑦′ 𝑡 + 𝑦 𝑡 , (13)

где 𝑇 – постоянная времени; ζ- коэффициент затухания; - установившееся значение.

В (12) и (13) под установившимся значением понимается тренд между переменными 𝑦(𝑡) и 𝑢(𝑡) в установившемся режиме, когда u = const и отклики на «предысторию» значений объясняющей переменной завершены.

Трендовая составляющая моделей (12) и (13) может быть как линейной, так и нелинейной, например:

𝑦_уст 𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 ∙ 𝑢 𝑡 , (14)

𝑦_уст 𝑡 = 𝑏0 + 𝑏1 ∙ 𝑢 𝑡 + 𝑏2 ∙ 𝑢2(𝑡) (15)

Для оценки параметров модели Т, ζ, 𝑏0, 𝑏1, 𝑏2, можно использовать дискретно-непрерывный метод идентификации, основанный на соотношениях дискретного линейного фильтра Калмана [4], [6].

Используя статистику (табл. 1), построим математическую модель зависимости ВВП от инвестиций в форме (12), (14)

где параметры модели Т, 𝑏0, 𝑏1 подлежат оцениванию.

Для идентификации параметров Т, 𝑏0, 𝑏1 составим расширенную модель вида:

Обозначим 𝑥 𝑡 = (𝑦 𝑡 𝑇 𝑏0 𝑏1)^𝑇 . Тогда исходную систему для идентификации можно представить в виде:

𝑥′ 𝑡 = 𝜑 𝑥, 𝑢, 𝑡 + 𝜉 𝑡 , (18)

где 

𝜉 𝑡 = (𝜔 𝑡 0 0 0)^𝑇 вектор шумов с дисперсионной матрицей

Модель измерения координат состояния имеет вид:

𝑧𝑘 = 𝐻 ∙ 𝑥𝑘 + 𝑣𝑘 , 𝑘 = 1,2, …, (19)

где 𝐻 = 1 0 0 0 .

Модель измерения управления

𝑢𝑘 ∗ = 𝑢𝑘 + 𝜂𝑘 , 𝑘 = 1,2, …, (20)

где 𝑢𝑘 ∗ - измеренные значения, 𝑢𝑘 - истинные значения управления.

В (19) и в (20) 𝑣𝑘 , 𝜂𝑘 - центрированные случайные шумы с известными дисперсиями: 𝑉𝑧 = 𝜎_𝑦², 𝑉𝑢 = 𝜎_𝑢².

Для оценки вектора x(t) модели (18) воспользуемся алгоритмом дискретно-непрерывного метода.

Оценка параметров модели и численное моделирование динамики инвестиций были реализованы с помощью ППП Mathcad.

Результаты идентификации представлены на Рисунке 3.

Исследования показали, что эффективность оценки коэффициента b0  достаточно низкая, так как в эксперименте нет установившегося значения  x(t). Поэтому пришлось варьировать начальное значение этого коэффициента: если тенденция его оценки была возрастающая и не была установившейся, то начальное значение еще увеличивали, до тех пор, пока тенденция не сменила знак, т.е. стала убывающей. Затем начальное значение принималось в районе смены тенденции, «зажималась» его начальная дисперсия (дисперсия принималась небольшой, чтобы этот коэффициент не «раскачивался») и осуществлялось окончательное оценивание,  результаты которого представлены на рисунке. Итоговые оценки были выбраны следующими: b0=509; b1 =5,9; Т= 3,92.

Результаты проверки соответствия модели экспериментальным данным представлены на Рисунок 4.Рис.4. Z(1) – модельные данные, zY1 – экспериментальные данные.

Рис.4. Z(1) – модельные данные, zY1 – экспериментальные данные.

Из Рисунка 4 видно, что совпадение модельных и экспериментальных данных достаточно высокое. Свидетельством тому является значение коэффициента детерминации R2 = 0,992.

Следующим этапом проверки адекватности модели экспериментальным данным была проверка полноты моделирования динамических свойств модели с лаговыми переменными (5) и непрерывной модели вида (16). Как уже отмечалось выше, неполное отражение динамических свойств в первую очередь скажется на точности прогноза при других значениях фактора (не используемых при идентификации).

С этой целью для оценки параметров моделей (5) и (16) была использована статистика без последних четырех измерений. Результаты эксперимента показали, что оценки модели (16) практически не изменились, а оценки же лаговой модели изменились существенно:

𝑦 𝑡 = 387,62 + 2,46 ∙ 𝑥𝑡 + 0,56 ∙ 𝑥𝑡−1 + 1,18 ∙ 𝑥𝑡−2 + 0,45 ∙ 𝑥𝑡−3 + 1,03 ∙ 𝑥𝑡−4 (21)

Осуществим прогноз по последним четырем наблюдениям объясняющего фактора, т.е. объема ВВП на

1988 – 1991г.г.

На Рисунке 5 показаны ошибки прогноза, полученного с помощью этих моделей.

Рис.5. Ошибки прогноза непрерывной и лаговой моделей
Из Рисунка 5 видно, что адекватность динамических свойств непрерывной модели гораздо выше, чем модели с распределенными лагами. При этом для непрерывной модели на период прогноза суммарные ошибки  составили     = 50077, а для лаговой модели     = 176547,52.

Оценка параметров динамической модели показала следующее:

1)    соответствие модельных и экспериментальных данных является достаточно высоким;

2)    моделирование динамических свойств модели является полным. При использовании других значений факторов оценки модели практически не изменились;

3)    адекватность динамических свойств модели достаточно высока.

   Таким образом, применение динамического моделирования с использованием дифференциальных уравнений помогает избежать проблем, возникающих при использовании лаговой модели, а также дает наиболее точные и достоверные результаты с возможностью прогнозирования. Результаты численного моделирования показали, что предложенный алгоритм идентификации параметров модели достаточно эффективен и может использоваться для оценки динамических свойств экономических процессов.

 

Список литературы

1.      Елисеева И.И., Курышева  С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика / Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2007.

2.      Колпаков В.Ф. Компьютерные технологии решения экономических задач. Учебное пособие, 2008 (электронный вариант).

3.      Колпаков В.Ф. Моделирование динамических процессов в экономике // Финансовая аналитика: проблемы и решения. – 2014. – № 3. – С. 31–36.

4.      Колпаков     В.Ф.      Параметрическая     идентификация      модели     лесных     пожаров     //     Безопасность жизнедеятельности – 2012. - № 5. – С. 39-44.

5.      Кремер Н.Ш., Путко Б.А. Эконометрика. – М.: ЮНИТИ, 2002.

6.      Синицын И.И. Фильтры Калмана и Пугачева: Учебное пособие. – М.: Университетская книга, Логос, 2006.