АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И КОМБИНАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ОБОБЩЕНИЙ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ

Существует огромное количество различных обобщений чисел Фибоначчи. В этой работе речь пойдет о числах, определенных рекуррентным соотношением 𝑥𝑛=𝑥𝑛−1+𝑥𝑛−𝑘. Разнообразные свойства этих чисел были доказаны в работе [1] (см. также [2]). В данной работе приведены альтернативные доказательства, которые, по мнению автора, являются более естественными и простыми. Приведенные алгебраические рассуждения могут быть включены в курсы линейной алгебры как яркие примеры применения основных теорем для доказательств свойств числовых последовательностей.
Итак, фиксируем некоторое натуральное число 𝑘≥2 и рассмотрим последовательность чисел, определенную при помощи рекуррентного соотношения 𝑔𝑛=𝑔𝑛−1+𝑔𝑛−𝑘, начальные члены в которой определены равенствами 𝑔1=𝑔2=⋯=𝑔𝑘=1. При 𝑘=2 мы получим последовательность чисел Фибоначчи, поэтому будем предполагать, что 𝑘≥3.