31 марта 2018г.
1. В начале приведём необходимые определения.
Под узлом понимается гладкое вложение окружности S1 в ориентированное пространство R3, узлом также называют образ этого отображения [2]. То есть под узлом можно понимать любую простую замкнутую линию в R3. Узлы К1 и К2 считаются эквивалентными, если существует гомеоморфизм пространства R3 на себя, отображающий К1 на К2 [1]. Если при этом гомеоморфизм является диффеоморфизмом, то узлы называют изотопными.
Очевидно, что отношение эквивалентности узлов является отношением эквивалентности в обычном смысле. Эквивалентные узлы называют узлами одного и того же типа, а класс эквивалентности узлов – типом узла. Узлы эквивалентные незаузленной окружности x2 + y2 =1, z=0, называется тривиальными и образуют тривиальный тип (рис.1).
Деформируя пространство, в котором находится узел, мы деформируем сам узел. Деформируя узел (вместе с пространством) с помощью диффеоморфизма, мы можем перевести его в отличный от данного, но изотопный исходному (рис. 2).
Любые деформации частей узла сводятся к трём движениям, называемыми движениями Рейдемейстера [2] и обозначаемые через Ω1, Ω2, Ω3, которые, изменяя расположение перекрестков, не меняют изотопического типа узла.
Часть узла принято называть его ветвью. В результате деформации узла ветви его диаграммы могут наложиться одна на другую. Такой участок узла называется перекрёстком (рис. 3). Ветвь, проходящая сверху, образует переход, а ветвь, проходящая снизу, – проход.
Диаграмма L узла называется восходящей [2] (начиная с точки А, не являющейся перекрёстком), если при прохождении диаграммы L начиная с точки А согласно ориентации узла каждый перекрёсток сначала проходится снизу, а затем – сверху. Аналогично определяется нисходящая диаграмма.
Существуют узлы, которые невозможно перевести в тривиальный узел с помощью деформации. Узлы классифицируются по степени их заузленности – количеству перекрестков. Первым нетривиальным узлом является “трилистник” (рис. 3).
1. Диаграммы некоторых узлов могут быть одновременно восходящими и нисходящими относительно выбранной фиксированной ориентации.
Если при этом все перекрёстки расположены на одной прямой, то условимся называть такие диаграммы – “диаграммы-плетение”.
“Диаграммами-плетениями” будем называть и те, которые могут быть получены после деформации. Обратимся к таблице классификации узлов [2].
2.
Лемма. Диаграммы узлов 31 – трилистник
и
51 из таблицы классификации [2]
изотопны «диаграммам-плетениям».
Доказательство.
Рассмотрим узел 31 – трилистник. Ниже показаны преобразования диаграммы трилистника в “диаграмму – плетение”.
Перейдем к узлу 51.
Ниже приведены преобразования, которые доказывают, что диаграмма узла 51, изотопна “диаграмме-плетение”.
Доказательство завершено.
Проведённые наблюдения позволяют предположить, что интересующие нас диаграммы имеют нечётное число перекрёстков.
Список литературы
1.
Р. Кроуэлл, Р. Фокс, Введение в теорию узлов. – М.: Изд-во “Мир”, 1967. – 348 стр.
2.
Мантуров В.О., Теория узлов. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005.
– 512 стр.
