19 апреля 2020г.
Теоретическая механика, относясь к фундаментальным дисциплинам, закладывает основы для последующего изучения инженерных дисциплин. При изучении аналитической механики практически все решаемые задачи во время учебных занятий относятся к случаю голономных связей, наложенных на механическую систему, в частности, на твердое тело, совершающее произвольное движение. Вместе с тем, решение некоторых технических задач требует рассмотрения и неголономных связей. Уравнения Лагранжа для неголономной системы становятся более сложными. Решение системы нелинейных дифференциальных уравнений обычными методами не выполняется.
Как известно, уравнения голономных связей содержат только координаты точек механической системы (и время t при нестационарных связях).
fi = (xk, yk, zk ,t) (1)
i = (1,2,3,…g); k=(1,2,3,…n)
Если же связи накладывают ограничения одновременно на координаты точек и на их скорости, то такие связи называются неголономными.
𝜙𝜈(𝑥𝑘 , 𝑦𝑘 , 𝑧𝑘 , 𝑥˙𝑘 , 𝑦˙𝑘 , 𝑧˙𝑘 , 𝑡) = 0
𝜈 = 1,2,3,...𝑙;
𝑘 = 1,2,3,...𝑛. (2)
Из аналитической механики известно, что уравнения Лагранжа второго рода в форме
Получаются из выражения (его легко получить из общего уравнения динамики)
Или
Из (5) можно вывести S уравнений Лагранжа в форме (3)только в том случае когда все S вариации обобщенных координат δqj(j=1,2,3,…S) будут независимыми между собой. Это условие выполняется, если все связи, наложенные на систему, являются голономными. При этом число степеней свободы системы μ равно числу обобщенных координат S (μ=S). Заметим, что число независимых вариаций обобщенных координат определяет число степеней свободы механической системы.
При наличии неголономных связей (2) некоторые вариации обобщенных координат связаны между собой уравнениями неголономных (неинтегрируемых) связей, то есть не все являются независимыми между собой.
Получается так, что число независимых вариаций обобщенных координат меньше числа самих обобщенных координат, определяющих движение системы. Как следствие этого выражение (5) не эквивалентно S независимым уравнениям в форме (3), как это было в случае голономных связей. При этом число степеней свободы системы меньше числа обобщенных координат на количество уравнений неголономных связей.
В силу выше изложенного уравнения Лагранжа для неголономных систем становятся более сложными, так как включают так называемые неопределенные множители.
где L- число уравнений неголономных, неинтегрируемых связей;
λν- неопределенный множитель Лагранжа, соответствующий ν-ом уравнению неголономной связи;
aνj- коэффициент при вариации обобщенной координаты δqj- в ν-ом уравнении неголономной связи. Поясним на примере.
Диск массы m и радиуса r катится без скольжения по горизонтальной шероховатой поверхности (Рис. 1а). В плоскости диска приложена пара сил с моментом M𝝋= const. Известно, что при t=0, 𝝋=0 , ω𝝋=ω0 , ψ=0, ωψ =Ω0.
В соответствии с общим случаем движения твердого тела положение диска может быть определено координатами его центра Xc , Yc, Zc относительно неподвижной системы отсчета OXYZ, а также углами 𝝋, ψ, Θ.
Введем также систему осей Сξηz* (оси Сξ и Сη расположены в плоскости диска, а ось Сz* перпендикулярна к плоскости диска) (Рис.1б).
Диск одновременно вращается вокруг трех осей:
1.
Вокруг
оси Сz* с угловой скоростью
ω𝝋.
2.
Вокруг оси Рzψ с угловой скоростью
ωψ.
3.
Вокруг оси Рν с угловой скоростью ωΘ.
Для диска обобщенными координатами и их вариациями, а также соответствующими обобщенными скоростями будут:
δq1= δxc q1=xc
δq2= δyc q2=yc
δq3= δ𝝋q3=𝝋
δq4= δψ q4=ψ
δq5= δΘ q5=Θ
Установим уравнения неголономной связи. Для этого используем условие отсутствия скольжения диска:
Где абсолютная скорость центра С диска
Найдем проекции вектора Vc на оси системы отсчета Pνηzψ:
Абсолютная угловая скорость диска
уравнениями связи будут
Первые два уравнения не интегрируются и выражают неголономную связь. Что касается третьего уравнения, то оно легко интегрируется
zc=r sin Θ
Согласно (7) условиями накладываемыми неголономной связью на вариации обобщенных координат будут
(8)
Итак, мы имеем
пять обобщенных координат
(S=5), два
уравнения неголономных связей (L=2), которые связывают вариации обобщенных координат. Из пяти вариаций, только три из них являются независимыми в силу наличия двух неинтегрируемых уравнений (8). Поэтому диску можно сообщить только три независимых возможных перемещения (три
независимых
вариации координат). Отсюда следует, что число степеней свободы диска μ=S-L=3.
Из (8) следует,
что коэффициенты аνj при вариациях
обобщенных
координат в уравнениях неголономной связи равны
Для диска уравнения Лагранжа второго рода с неопределенными множителями (неопределенных множителей столько, сколько неголономных связей) в общем виде записываются так
На диск действует момент M𝝋, сила тяжести mg и приложенная в точке P реакция связи, включая и силу
трения.
Кинетическая энергия диска
Список литературы
1 .Аппель П. Теоретическая механика. Том II. 1960.
2
.Лурье А.И. Аналитическая механика. 1961.
3. Мещерский И.В. Сборник заданий по теоретической механике.1986. 4.Старжинский В.М. Теоретическая механика.- М.: Наука 1980.
5. Шинкин В.Н. Теоретическая механика. Динамика и аналитическая механика. - М.: Изд. Дом МИСиС, 2011.
6.Тарг С.М. Методические указания и контрольные задания. – М. «Высшая школа»,1989.
7. Яблонский А.А. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике: Учебное пособие для Вузов. – М. «Высшая школа»,1985.
8.Диевский В.А. Теоретическая механика. Учебное пособие.- СПб.: издательство «Лань», 2009.
9.Митюшов Е.А., Берестова С.А. Теоретическая механика. Учебник для студентов высш.учебн.заведений/- М.: Издательский центр «Академия»,2006.
10.Вронская Е.С., Павлов Г.В., Элекина Е.Н. Основы аналитической механики. Учебное пособие.-
Самара: СГАСУ, 2013.
