УСТОЙЧИВОСТЬ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ ИСТОЧНИКОВ СО СВЕРХРАЗРЕШЕНИЕМ

Аннотация.

Новый метод приближѐнного численного решения ряда обратных задач электродинамики обеспечил возможность превышения критерия Рэлея, т.е. получения углового сверхразрешения. Приведены результаты численных экспериментов по определению предельных возможностей получения сверхразрешения в зависимости от уровня случайных составляющих в используемых данных.

1.   Постановка задачи. Пусть в секторе обзора системы находится исследуемый объект с конечными угло- выми размерами. Задана диаграмма направленности (ДН) антенной системы f(a) и угловая зависимость огибающей выходного сигнала U(a), полученная при сканировании сектора. На основе анализа принятого сигнала требуется найти с возможно большим угловым разрешением и точностью угловое распределение амплитуды отражѐнного сигнала I(a) [1-5]. Принятый сигнал представляет собой линейное интегральное уравнение:

где W - угловая область расположения источника излучения. Представим искомое приближѐнное решение I(a) в виде разложения по конечной системе из N £ 2M+1 ортонормированных в области W функций gm(a) с неизвестными коэффициентами разложения bm:

Коэффициенты bm находятся из решения СЛАУ, построенного на основе наилучшего среднеквадратического приближения U(a) [2-4].

Принципиальной особенностью получающихся систем типа является их плохая обусловленность, являющаяся следствием попытки решения обратной задачи. С увеличением числа N используемых функций решения становятся всѐ менее устойчивыми. При достижении N некоей предельной величины полученное решение перестаѐт отражать реальное распределение интенсивности.

Главным препятствием на  пути получения устойчивого адекватного решения СЛАУ оказываются случайные составляющие, присутствующие в исследуемом сигнале. Степень их влияния на решения обратных задач много больше, чем на решение прямых и во многом зависит от применяемого метода. Наличие шума коренным образом меняет идеологию решения обратных задач. Если сама задача является устойчивой, то существование шума может эту устойчивость нарушать [5-8].

1. Влияние случайных составляющих на степень сверхразрешения

Влияние уровня шума на возможность повышения эффективного разрешения исследовалось на математической модели. Был установлено, что:

-   при уровне ниже некоторого порогового восстановленное изображение мало отличается от "бесшумового" и носит устойчивый характер;

-     при дальнейшем увеличении уровня шума, в "переходной" области, качество изображения цели начинает резко ухудшаться, его вид становится сильно зависящим от каждой конкретной реализации шума. Удовлетворительное решение, может быть получено в этой области только при обработке многих полученных зависимостей U(a), однако оно даст достаточно близкое к истинному распределение;

-   при значительном уровне шума получаемые решения принимают устойчивый вид в виде осциллирующей кривой с амплитудой, многократно (на 2-3 порядка) превышающей ожидаемый уровень сигнала. Специфический вид полученного решения легко опознаѐтся, и должен трактоваться как невозможность решения задачи с заданным разрешением при использовании выбранного метода [3,5,9].

1.1.     Устойчивость решений на основе вейвлетов. На Рисунке 1 приведены результаты восстановления изображения источника на основе использования семейства МНАТ-вейвлетов при значительном уровне шума, составлявшем 7% от полезного сигнала. Пунктирная кривая - исходное распределение интенсивности, тонкая кривая – принимаемый сигнал, в состав которого входит случайная  составляющая; жирная кривая - восстановленное изображение с помощью 6 вейвлетов.

Полученное в условиях воздействия шумов решение правильно передаѐт основные характеристики источника – угловое положение и интенсивность. Воздействие случайных составляющих в исследуемом сигнале свелось к образованию ложных источников, интенсивность которых возрастает с увеличением уровня шума. При уровне шума 10-15% от  уровня полезного сигнала появляющиеся ложные источники делают невозможным восстановление изображения истинных источников.

На Рисунке 2 приведены результаты восстановления изображения источника при высоком уровне шума, сравнимом с полезным сигналом и составлявшим 30% от полезного сигнала. Предварительно, на основе анализа спектрального состава принятого сигнала был проведен отбор шести наиболее пригодных для построения решения MHAT-вейвлетов.

В итоге, можно констатировать, что использование MHAT-вейвлетов, с дополнительной оптимизацией, позволяет восстанавливать   изображения источников       со сверхразрешением и с хорошей локализацией малоразмерных источников при значительном уровне случайных составляющих.

2.2 Решения на основе ряда Фурье. Наличие предварительной информации о плавном угловом распределении амплитуды излучаемого сигнала определяет применение гладких функций для представления углового распределении амплитуды излучаемого сигнала ряда. Одна из возможностей - использование ряда Фурье.

Решение позволяет с хорошим качеством восстановить изображение объекта без шума. Появление небольшой случайной составляющей в исследуемом сигнале (1% от полезного сигнала) резко ухудшает качество изображения. Дальнейшее повышение уровня шума делает практически невозможным отличить реальные источники от ложных.

Близкие к приведенным выше результаты получаются при использовании в качестве системы функций ортогональных многочленов. Для ортогональных многочленов появление ложных источников сигнала при использовании относительно небольшого числа функций также оказывается принципиально неустранимо, т.к. все ортогональных многочлены представляют собой осциллирующие функции.

Таким образом, численные эксперименты показали, что  методы на основе ряда Фурье не позволяют получать устойчивые адекватные решения при отношении сигнал/шум q менее 23-25 дБ. По критерию помехоустойчивости они значительно уступают методам на основе ступенчатых функций и вейвлетов.

Выводы. Предложенные простые алгоритмы обработки при использовании ступенчатых функций, вейвлетов Хаара, MHAT и других типов позволяют получать приемлемое решение с разрешением (1/4 - 1/8)q0,5 при отношении сигнал/шум 18-20 дБ. При большем уровне шумов найти удовлетворительное решение с помощью простых алгоритмов обработки становится невозможным. Более сложные алгоритмы, основанные на интегральной обработке принимаемого сигнала, позволяют успешно решать задачу при отношении сигнал/шум 11-15 дБ, а  в некоторых случаях и меньше. В целом,  алгоритмы, простроенные  на основе алгебраических методов, дают возможность восстанавливать изображение при значительно больших значениях случайных составляющих, чем известные, описанные в отечественной и зарубежной литературе методы.

Список литературы

1.     Lagovsky B.A., Samokhin A.B. Image Restoration of Two-dimensional Signal Sources with Superresolution // Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings (PIERS), Stockholm, Sweden, 2013. 12-15, pp. 315-319.

2.     Lagovsky B.А. Superresolution: Data Mining // Progress In Electromagnetics Research Symposium. PIERS Proceedings 2012. pp. 1309 – 1312.

3.     Lagovsky B.А. Superresolution: Simultaneous Orthogonalization of Function Systems Describing the Received Signal and its Source. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2012-Moscow), PIERS Proceedings 2012. pp. 993 – 996.

4.     Lagovsky B.А. Image Restoration of the Objects with Superresolution on the Basis of Spline - Interpolation. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2012-Moscow), PIERS Proceedings 2012. pp. 989 – 992.

5.     Лаговский Б.А., Самохин А.Б., Самохина А.С. Формирование изображений радиолокационных целей со сверхразрешением алгебраическими методами // Успехи современной радиоэлектроники. – 2014, № 8, с. 23-27.

6.     Лаговский Б.А., Шумов И.Ю. Восстановление двумерных изображений источников излучения со сверхразрешением. // Антенны. 2013. № 4. С.60 - 65

7.     Лаговский Б.А. Сверхразрешение на основе синтеза апертуры цифровыми антенными решетками // Антенны. 2013. № 6, - С. 9 -16.

8.     Лаговский Б.А., Самохин А.Б. Устойчивость алгебраических методов восстановления изображений источников с повышенным угловым разрешением // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2011, №4, т.16, - с. 6-12.

9.     Лаговский Б.А. Восстановление изображения групповой цели цифровыми антенными решетками. Антенны. 2011. № 2(165), - С. 40 -46.