РЕШЕНИЕ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ПОЛУЧЕНИЯ СВЕРХРАЗРЕШЕНИЯ НА ОСНОВЕ СИММЕТРИЗАЦИИ ДАННЫХ

Аннотация.

Теоретически и в ходе экспериментов на математической модели обоснован новый метод повышения устойчивости численных решений интегральных уравнений Фредгольма первого рода типа свѐртки для одно- и двухмерных задач. Метод позволяет получать изображения исследуемых объектов с  угловым разрешением, превышающим критерий Рэлея в 3-8 раз при отношении сигнал/шум 12-15 дБ.

1. Введение. Постановка задачи.

Одно из основных направлений совершенствования систем наблюдения, фиксации изображений и измерений пространственного положения объектов и их отдельных частей в различных диапазонах электромагнитных волн от радио– до оптического – повышение угловой разрешающей способности. Представляемый метод обработки позволяют получить разрешение, превышающее критерий Рэлея, т.е. добиться сверхразрешения.

В одномерном случае задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма (ИУ) типа свѐртки:

1. Метод решения.

Использование алгебраических методов [3-6] позволяет получать устойчивые решения (1) со сверхразрешением. Эти методы основаны на представлении источника в виде разложения по системам ортогональных в заданной области функций g(a) с неизвестными коэффициентами bj:

и сведении решений ИУ к решению плохо обусловленных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Для повышения степени достигаемого сверхразрешения необходимо повысить устойчивость получаемых решений [1, 4, 6].

Уменьшение размерности СЛАУ позволяет увеличить устойчивость решений. Это означает уменьшение числа используемых функций в представлении источника и, как следствие, приводит к снижению разрешающей способности.

Существует, однако, возможность уменьшить размерность используемых СЛАУ без снижения разрешения. Для этого предлагается предварительно провести симметризацию обратной задачи. Сущность метода состоит в том, что всегда возможно представить принятый сигнала U и решение I в виде суммы чѐтной и нечѐтной частей – U0, I0 и Ue, Ie:

В итоге, в силу линейности, исходная задача поиска I(a) распадается на две. Первая - поиск чѐтной части Io(a) по чѐтной части принятого сигнала на основе выбранной системы чѐтных функций. Вторая - поиск нечѐтной части Ie(a) по нечѐтной части Ue(a) на основе системы нечѐтных функций. Общее решение задачи - суперпозицией чѐтного и нечѐтного решений

Если для каждой из задач удаѐтся получить устойчивое решение при размерности СЛАУ N´N , т.е. при использовании N функций, то итоговое суммарное решение содержит 2N функций. При прямом поиске I(a) в виде суперпозиции 2N функций потребовалось бы решать СЛАУ размерностью 2N ´2N , что в рассматриваемых задачах на порядок, снижает устойчивость решения, оцениваемую числом обусловленности.

Таким образом, для одномерных задач симметризация позволяет удвоить разрешение без снижения устойчивости решения.

Обобщение большинство известных методов решения ИУ (1) на двумерные задачи существенно усложняет алгоритмы, резко повышает время обработки сигналов. Для получения удовлетворительных результатов иногда требуется использование параллельных процессоров [5].

Перспективными для рассматриваемых двумерных задач восстановления изображений источников сигналов оказываются представленные в работах [6-9] алгебраические методы решения одномерных задач. Они заключаются в представлении приближѐнных решений в виде конечных разложений по задаваемым последовательностям функций с неизвестными коэффициентами.

В работе [7] показано, что решения задач восстановления изображений объектов без привлечения априорных данных может быть найдено только с ограниченным разрешением, хотя и заметно превышающим критерий Рэлея. Следовательно, для получения максимально достижимого разрешения достаточно использовать конечные системы ортогональных функций.

Cвязь величин I, U и ДН для двумерных задач выражается в виде двумерной свѐртки:

Задача состоит в восстановлении углового распределения I(x,y) с максимально возможным угловым разрешением.

Для двумерных задач введѐм понятие двойной чѐтности – если функция чѐтна по x и y, то назовѐм еѐ чѐтно-чѐтной, если чѐтна по x и нечѐтна по y, назовѐм еѐ чѐтно-нечѐтной и т.д. Представим принятый сигнал U и решение I в виде суммы четырѐх составляющих различной чѐтности вида U0,0, U0,e , U0,e и Ue,e.

U o.o (x, y) = 1/ 4(U (x, y) + U (-x, y) +U (x,- y) + U (-x,- y))

U e,o (x, y) = 1/ 4(U (x, y) - U (-x, y) + U (x,- y) - U (-x,- y))

U o,e (x, y) = 1/ 4(U (x, y) + U (-x, y) - U (x,- y) - U (-x,- y))

U e,e (x, y) = 1/ 4(U (x, y) - U (-x, y) - U (x,- y) + U (-x,- y))  (6)

Для представления решения теперь требуется 4 системы функций различной чѐтности. Например, на основе четырѐх произведений тригонометрических функций:

Полученное решение (8) позволило разрешить все 4 источника, правильно передать их расположение и характер распределения интенсивности. Амплитудные значения восстановлены с небольшими ошибками - в пределах 7% .

Заключение. Использование предложенных алгебраических методов на основе симметризации задач значительно повышает эффективное угловое разрешение. Достигнутая степень сверхразрешения при различных типах источников сигналов в 5-8 и более раз превышала критерий Рэлея.

Список литературы

1.     Quinquis A., Radoi E., Totir F.C. - Some radar imagery results using superresolution techniques // IEEE Trans. - 2004. Vol. 52. № 5. P. 1230-1244.

2.     Lagovsky B.А. - Superresolution: Data Mining. - Progress In Electromagnetics Research Symposium // PIERS Proceed.- 2012.- p.1309– 1312

3.     Лаговский Б.А. - Сверхразрешение на основе синтеза апертуры цифровыми антенными решетками // Антенны. - 2013. № 6, - С. 9 -16.

4.     Lagovsky B.A., Samokhin A.B. Image Restoration of Two-dimensional Signal Sources with Superresolution //Progress In Electromagnetics Research Symposium Proceedings. Stockholm. PIERS Proceedings 2013. –p. 315- 319.

5.     Лаговский Б.А. - Восстановление изображения групповой цели цифровыми антенными решетками // Антенны. = 2011. № 2(165).- С. 40 -46.

6.     Лаговский Б.А., Самохин А.Б. Устойчивость алгебраических методов восстановления изображений источников с повышенным угловым разрешением // Электромагнитные волны и электронные системы. – 2011, № 4, т.16. С. 6-12.

7.     Лаговский Б.А., Самохин А.Б., Самохина А.С. - Формирование изображений радиолокационных целей со сверхразрешением алгебраическими методами // Успехи современной радиоэлектроники. – 2014, № 8, - с. 23-27.

8.     Lagovsky B.А. Image Restoration of the Objects with Superresolution on the Basis of Spline - Interpolation. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2012-Moscow), PIERS Proceedings 2012. pp. 989 – 992.

9.     Lagovsky B.А. Superresolution: Simultaneous Orthogonalization of Function Systems Describing the Received Signal and its Source. Progress In Electromagnetics Research Symposium (PIERS 2012-Moscow), PIERS Proceedings 2012. pp. 993 – 996.