Любое тело, погруженное в жидкость, подвергается сжимающему и выталкивающему действию со стороны жидкости. На единицу поверхности тела, погруженного в жидкость с плотностью r, действует по нормали к поверхности гидростатическое давление p, зависящее от глубины погружения h по определенному закону (p = rgh) и не зависящее от ориентации поверхности. Чтобы сложить векторы сил давления, действующих на различные элементы поверхности тела и направленные по нормали к ним; т. е. вычислить поверхностный интеграл от определенной векторной функции по поверхности тела произвольной формы, можно воспользоваться простым рассуждением и вывести закон Архимеда.


На Рисунке 1, изображено тело, помещенное в жидкость. На это тело со стороны жидкости действует описанная выше сила гидростатического давления. Для нахождения этой силы вместо вычисления сложных интегралов проведем мысленный эксперимент: уберем тело и рассмотрим жидкость в объеме V, который занимала погруженная часть тела (Рисунок 2). На эту жидкость действует сила тяжести rVg и сила гидростатического давления F (здесь и далее трехмерный вектор обозначается полужирным шрифтом). Выделенный объем находится в равновесии, следовательно, сумма сил, действующих на жидкость в этом объеме, равна нулю:

F + rVg = 0.                                              (1)

Отсюда следует выражение для силы гидростатического давления:

F = - rVg.                                                  (2)

Мы нашли силу, действующую на поверхность жидкости, заполняющей объем V. Но поверхность тела, погруженного в жидкость, совпадает с поверхностью жидкости в нашем мысленном эксперименте, следовательно, найденное выражение и есть «выталкивающая» сила ― сила Архимеда

FАрх = – rVg.                                             (3)

Казалось бы, решение задач с использованием этого закона не должно вызывать затруднений. Однако неверные решения отдельных задач на закон Архимеда встречаются в ряде задачников. Дело в том, что при использовании этого (как и любого другого) закона надо всегда помнить, как и для каких ситуаций он выводился. Так, например, мы вычисляли силу гидростатического давления, действующую на поверхность неподвижного объема жидкости, находящейся в равновесии, т. е. имеющей нулевые скорость и ускорение. Следовательно, и использовать выведенное выражение для силы Архимеда можно только в тех случаях, когда и скорость, и ускорение тела равны нулю.

Покажем, что применение этого закона в других ситуациях абсолютно неправомочно, так как приводит к неверным результатам.

Рассмотрим легкое тело, привязанное ниткой к дну сосуда, заполненного жидкостью (Рисунок 3). Тело погружено в жидкость и находится в равновесии. На него действуют вниз сила тяжести mg = r1Vg и сила натяжения нити T, а вверх - сила гидростатического давления F = FАрх = - rVg, где r1 - плотность тела, r - плотность жидкости. Условие равновесия тела:

- rVg + T + r1Vg = 0.                                (4)

Пусть в некоторый момент нить обрывается (т. е. исчезает сила натяжения T), равенство (4) перестает выполняться, и тело начинает двигаться вверх (всплывать) с некоторым ускорением a, которое можно найти из уравнения движения

F + r1Vg = r1Va.                                        (5)

Предположив, что в этом случае можно использовать закон Архимеда, подставим -rVg в левую часть равенства (5)    вместо F. Для ускорения тела получаем выражение

a = - g(r - r1)/r1.                                      (6)

Исследуем выражение (6). Ускорение тела направлено против ускорения свободного падения (что абсолютно верно), а его величина неограниченно возрастает при уменьшении плотности тела. Такой результат противоречит как здравому смыслу, так и наблюдениям.

Таким образом, закон  Архимеда в форме (3) неприменим к  телам, ускорение которых относительно жидкости отлично от нуля (даже при равной нулю скорости). В ряде пособий (см., например, [Иванов М.В.]) приводится неверное объяснение этого эффекта.

Найдем ускорение, с которым начинается движение шарика с плотностью r1, полностью погруженного в жидкость с плотностью r.

Прежде всего, рассмотрим небольшой объем жидкости, имеющий вид длинного цилиндра, направленного вдоль оси Ox, с высотой Dx и  площадью основания S. Давление в  жидкости p(x, y, z). Площадь основания цилиндра настолько мала, что давление во всех точках основания можно считать одинаковым. Пусть координата одного основания цилиндра x, а координата другого основания x + Dx. Вдоль оси Ox на цилиндр действуют сила давления Fx = (p(x, y, z) – p(x+Dx, y, z)) DS, сила тяжести

mgx = r DxSgx                                                                         (13)

(здесь gx – проекция ускорения свободного падения на ось Ox). Считаем, что выделенный объем покоится, т. е. имеет нулевую скорость по отношению к окружающей жидкости, и поэтому не рассматриваем сил вязкого трения, которые могут возникать при относительных смещениях соседних слоев жидкости.

Под действием перечисленных выше сил выделенный объем жидкости может двигаться с некоторым ускорением ax:

Это уравнение было впервые получено Эйлером [Euler L.], а впоследствии получило название уравнения Лапласа.

Для вычисления выталкивающей силы, действующей на поверхность тела, погруженного в жидкость, необходимо знать давление на поверхности тела, т. е. решить уравнение (20) с учетом граничных условий конкретной задачи.

Рассмотрим движение шарика радиусом R, погруженного в несжимаемую жидкость. Будем считать, что размеры шарика много меньше размеров сосуда и расстояния до поверхности жидкости. Для решения такой задачи надо сформулировать граничные условия на поверхности шарика и на бесконечности. Для этого выберем сферическую систему координат с началом в центре шарика. Ось Oz направим вертикально вверх. Точки на поверхности шарика будут описываться координатами (R, q, j), причем зависимость давления от угла j отсутствует в силу осевой симметрии задачи. Если плотность шарика r1 отличается от плотности жидкости r, шарик начнет двигаться с некоторым ускорением a. Точки на поверхности шарика будут иметь то же самое ускорение a. Составляющая этого ускорения по нормали к поверхности будет равна an = a cosq. Жидкость у поверхности шарика будет смещаться с ускорением, нормальная составляющая которого будет такой же.

Используя связь (18), можно записать первое граничное условие для уравнения (20) в виде

Зависимость силы гидростатического давления, действующей на свободное тело, от его плотности r1 представлена на графике Рисунок 4 в сравнении со стандартным выражением для силы Архимеда rVg. Из этого графика видно, что для малых плотностей тела сила давления убывает до нуля, а при увеличении плотности эта сила стремится к величине 1,5 rVg.

На следующем графике (Рисунок 5) приведена зависимость ускорения свободного тела в жидкости от его плотности [уравнение (32)]. Для сравнения пунктиром приведен график ускорения, получающийся непосредственно из закона Архимеда [уравнение (6)]. Из этого графика видно, что даже бесконечно легкий шарик всплывает с конечным ускорением, равным 2g, а тяжелые тела тонут с ускорением, меньшим, чем это следует из закона Архимеда.

Если пренебречь вязкостью жидкости, то можно показать [Ландау Л.Д.], что в случае ламинарного обтекания при отличной от нуля и направленной вертикально скорости шарика u к правой части равенства (25) добавляется слагаемое

Таким образом, выражения для ускорения шарика (32) и силы давления (33) справедливы и для отличной от нуля скорости при условии ламинарного обтекания и отсутствии вязкости.

 

Список литературы

1.     Euler L. Principia motus fluidorum, Novi Commentarii Acad. Sci. Imp. Petrop., 6, 1761. P. 271-371 (англ. перевод: Principles of the motion of fluids, arXiv:0804.4802)

2.     Иванов М.Г. Механика, Электронная учебная библиотека, Лицей «Физико-техническая школа», 1998, http://www.school.ioffe.ru/library/online

3.     Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М., Гидродинамика. М., 2006. 736 с