Известно, что хвостохранилища твердых радиоактивных отходов (ТРО) являются многослойными. Верхний слой является защитным и создан для консервации отходов, насыпной слой содержит несколько радионуклидов (РН), подстилающий слой расположен на естественном грунте и может обладать водоносными свойствами. Например, хранилище «Днепровское» (Украина) имеет глубину 8,5 м и содержит следующие РН: 234mPa, 230Th, 226Ra, 210Pb, при этом, концентрация данных радиоактивных веществ является функцией глубины точки ее измерения и имеет максимумы. Точка максимума со временем меняет свою глубину, приближаясь к границе раздела слоев, вследствие этого концентрация в нижележащем слое, в течение некоторого промежутка времени, увеличивается. Также пространственно-временные процессы молекулярного и конвективного переноса зависят от свойств насыпного и подстилающего слоев хранилища [4].

Основные задачи работы: проанализировать свойства зависимостей концентраций 234mРа и 226Ra от глубины в насыпном и подстилающем слоях хвостохранилища; обосновать выбор классов математических моделей, отражающих свойства результатов реальных измерений концентраций; определить коэффициенты моделей распределения концентраций по глубине; выполнить сравнительную оценку качества полученных моделей.

Исходная информация о распределении концентраций протактиния и радия, в зависимости от интервалов глубины точек их измерений, представлена в Табл.1.

Таблица 1

Концентрации 234mРа и 226Ra в зависимости от глубины измерений

Интер- валы глубин	9-12	12-13	13-14	14-15	15-16	16-17	17-18	18-19	19-20	20-21	21-22	22-23
h, м	10,5	12,5	13,5	14,5	15,5	16,5	17,5	18,5	19,5	20,5	21,5	22,5
х, м	-	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
СиР×104, Бк/кг	0,08	0,488	0,597	1,019	1,338	6,757	8,022	7,344	0,72	0,809	0,481	0,011
СиR×103, Бк/кг	0,02	7,372	10,92	26,32	13,75	7,115	4,549	6,347	7,09	3,329	0,144	0,071
∆1Р	-	0,408	0,109	0,422	1,338	5,419	1,265	-0,678	-6,624	0,089	-0,33	-0,470
∆2Р	-	-	-0,299	0,313	2,357	4,081	-4,154	-1,943	-5,946	6,713	-0,42	-0,142

∆1R	-	7,35	3,548	15,4	13,75	-6,63	-2,566	1,798	0,743	-3,76	-3,18	-0,073
∆2R	-	-	-3,802	11,85	40,07	-20,4	4,069	4,364	-1,055	-4,51	0,576	3,112

Примечание к Табл.1: СиР, СиR. - концентрации 234mРа и 226Ra, соответственно; h – середины интервалов глубин; х – вертикальная линейная координата.

Для разработки моделей распределения концентраций были выбраны 234mРа и 226Ra по двум причинам:

1.     Максимальные концентрации этих веществ составляют, соответственно, 8,022×104 Бк/кг и 2,632×104 Бк/кг, что на порядок превышают концентрации существующих ТРО в хвостохранилище «Днепровское».

2.     Распределения концентраций рассматриваемых веществ обладают существенным отличием: концентрация 234mРа имеет один максимум на границе раздела насыпного и подстилающего слоев; концентрация 226Ra имеет два максимума – первый на глубине 14,5 м и находится в насыпном слое, второй – на глубине 19,5 м и находится в подстилающем слое.

Результаты. В соответствии с поставленными задачами разработана модель распределения концентрации 234mРа по глубине насыпного и подстилающего слоев. При этом учтено, что в интервале 0–12 м концентрация протактиния не превышает 0,99 % от максимального значения, поэтому им можно пренебречь. Точка начала отсчета вертикальной координаты х = 0 принята на глубине 12,5 м.

Насыпной и подстилающий слои хвостохранилища имеют различные свойства, поэтому получены разные модели для соответствующих уровней. В Табл.1 показаны первые и вторые разности концентраций:

D1i = Ci +1 - Ci , i = 1,...12,

D2 j = D1 i +1 - D1i , j = 2,...12.

Вследствие однократных перемен знаков вторых разностей в насыпном и подстилающем слоях существует точка перегиба концентрации как функции глубины. Модель, соответствующая каждому уровню, должна отражать два свойства: наличие экстремума и точки перегиба. Такими моделями могут быть полином третьей степени, функция Гаусса, сумма членов тригонометрического ряда. Исходная информация для получения модели распределения концентрации 234mРа представлена в Табл.2.

Таблица 2  

Исходная информация для моделирования

х, м	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
СиР	0,488	0,597	1,019	1,338	6,757	8,022	7,344	0,72	0,809	0,481	0,011
СиR	7,372	10,92	26,32	13,75	7,115	4,549	6,347	7,09	3,329	0,144	0,071

Приняты числовые значения корней λm, дисперсии D и скорости I изменения концентрации на границе слоев, приведенные в [2]. Вычислив амплитуды Аm нескольких гармоник, сформируем модель (4) и после ее табулирования построим графики (Рисунок 1) модели концентраций, содержащей три первые гармоники (сплошная линия), и модели, содержащей четыре первые гармоники (пунктирная линия). Учет более, чем трех гармоник отражает конструкцию модели, но не реальные свойства распределения концентрации. Подробно исследована модель, содержащая сумму трех гармоник.

При оценке разработанных моделей, в качестве ошибок моделирования рассмотрены разности между измеренными и представленными значениями концентраций и вычисленными с помощью соответствующих моделей (см. Табл.1). В Табл.3 представлены значения стандартов ошибок и их отношения к максимальным значениям концентраций.

Таблица 3 

Показатели качества моделей

Модель	СР	CR	СРГ	СRГ	С
Стандарт ошибки	0,8315	0,426	0,838	4,296	1,693
Относительная ошибка	0,1037	0,0161	0,104	0,016	0,211

Сравнительный анализ ошибок моделирования показывает, что модели в виде функций Гаусса дают оценки относительных ошибок 10,4 % для 234mРа, 1,63 % для 226Ra и практически совпадают с моделями в виде полиномов третьей степени: 10,37 % для 234mРа и 1,61 % для 226Ra.

Физические процессы молекулярного и конвективного переноса являются диффузионными, однако, модели в  виде суммы гармоник, соответствующих решению  уравнения  диффузии, приводят к наибольшим оценкам ошибок, составляющими 21,1 %, что можно объяснить анизотропностью свойств, представленных слоев хранилища ТРО. Расчеты показывают, что при моделировании на отрезке h Î[14,5;19,5], на котором сосредоточены основные массы РН, точность моделирования существенно повышается.

Выводы. Проанализированы свойства зависимостей концентраций 234mРа и 226Ra от глубины в насыпном и подстилающем слое. Обоснованы классы математических моделей, отражающих свойства результатов реальных измерений концентраций радионуклидов. Для исследований выбраны три класса аппроксимирующих моделей, отражающие свойства распределений концентраций: полиномы третьей степени, функции Гаусса, решение уравнений диффузии. Методом наименьших квадратов вычислены коэффициенты моделей. Оценены относительные ошибки моделирования, при этом модель в виде решения уравнения диффузии обладает существенно меньшей точностью по сравнению с моделями в виде полиномов и функций Гаусса.

 

Список литературы

1.     Асатурян В.И. Теория планирования экспериментов / В.И. Асатурян. М.: Радио и связь, 1993. 247 с.

2.     Заниздра В.С., Осадчий Ю.М. Аппроксимация зависимостей концентрации радионуклида от глубины в слое хранилища твердых отходов / В.С. Заниздра, Ю.М. Осадчий // Вестник СевНТУ. Сер. Механика, энергетика, экология: сб. науч. тр., Севастополь, 2014. Вып. 11. С.141 – 146.

3.     Костылев А.А. Статистическая обработка результатов экспериментов / А.А. Костылев. Л.: Энергоатомиздат. 2001. 305 с.

4.     Лыков А.В. Тепломассообмен /А.В. Лыков. М.: Энергия. 1978. 479 с.

5.     Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров / С. Фарлоу. М.: Мир, 1985. 383 с.