При решении многих прикладных задач возникает необходимость аппроксимации сложных сигналов в заданном временном интервале конечным набором гармонических составляющих с неизвестными заранее частотами и амплитудами с приемлемой точностью. В настоящее время традиционные способы определения спектра сигналов ограниченной длительности основаны на использовании Фурье- и вейвлет–разложений [1,2]. В частном случае, если известно, что рассматриваемый сигнал состоит только из гармонических составляющих, возможен точный расчет их параметров с использованием различных вариантов метода Прони. Однако эти методы не всегда эффективны при гармонической аппроксимации и обладают существенными недостатками, вытекающими из предлагаемых способов определения гармоник. Так спектральные разложения, основанные на методе Фурье и различных его модификациях, обладают значительной избыточностью по количеству гармоник и не обеспечивают приемлемого значения ошибки аппроксимации сигналов ограниченным набором гармоник. При применении методов вейлет-разложений отсутствуют четкие и обоснованные критерии по выбору класса вейвлетов (разные базисные функции, применяемые для обработки одного и того же сигнала, могут привести к различным результатам), кроме того, существует проблема по учету и удалению дополнительных корреляций, которые вносятся в анализируемый сигнал.

Поэтому актуальной является постановка  и решение следующей практически  важной задачи: сигнал, заданный на выборке ограниченной длительности, {xn} = x(t0 ), x(t1),..., x(tN ) представить конечным набором гармоник K

Мы хотим подчеркнуть, что в общем случае, спектры, полученные из решения разностного уравнения (2), несут в себе принципиально разное физическое представление о рассматриваемом сигнале в отличие от спектров, построенных на основе любого разложения Фурье. Полученные спектры трудно сравнивать с вейвлет-спектрами (кстати, несущими мало физического смысла), так как они отличаются набором базисных функций, поэтому можно говорить только об их относительной эффективности при аппроксимации сложных сигналов.

При отсутствии адекватной модели, аппроксимация сложного сигнала (1), осуществленная в рамках данного подхода, может дать дополнительную информацию в форме амплитудно-частотных характеристик, определяющих поведение сложной системы.

Исследование выполнено в рамках базовой части государственного задания Минобрнауки России.

 

 

Список литературы

1.     Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1983. 312 с.

2.     Марпл.-мл. С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. Пер. с англ. М.: Мир, 1990.

3.     Тобоев В.А., Толстов М.С. Расчет гармонических дискретных спектров коротких сигналов// Нелинейный мир. 2011. Т.9. №9. С.611-618.

4.     Nigmatullin R.R. Eigen-Coordinates: New method of identification of analytical functions in experimental measurements// Applied Magnetic Resonance, V.14. 1998. P. 601-633.

5.     Nigmatullin R.R., Osokin S.I., Toboev V.A. NAFASS: Discrete spectroscopy of random signals // Chaos, Solitons

& Fractals. 2011. V. 44. Issue 4-5. P. 226-240.

6.     Nigmatullin R.,R., Osokin S.I., Ionescu  C.M., Baleanu D., Toboev V.A. Non-invasive methods applied for complex signals// Romanian reports in Physics. 2012. V.64, N 4, P. 123-142