14 мая 2016г.
Аннотация: в работе рассмотрены способы применения линейной алгебры при решении многих экономических задач. Экономика и линейная алгебра неразрывно связаны между собой. Тем самым применение различных математических методов значительно упрощает решение многих задач экономики.
Ключевые слова: линейная алгебра, экономика, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса.
APPLICATION OF LINEAR ALGEBRA WITH THE SOLUTION OF THE ECONOMIC PROBLEMS
Verevkina D.S., student I -IEF-3, Smirnovа L.N., docent, SamGTU
State technical university, Samara
Annotation: Work examines the methods of application of linear algebra with the solution of many economic problems. The economy and linear algebra is inseparably connected together. Thus the application of different mathematical methods considerably simplifies the solution of many problems of the economy.
Keywords: linear algebra, the economy, matrix, the system of linear algebraic equations, the method of Gauss. Математика всегда была неразрывно связана с другими науками. Такая связь, прежде всего, обуславливается благодаря тому, что сама математика разделена на ряд отдельных и самостоятельных областей. Законы окружающего нас мира сами по себе универсальны. Математический язык тоже по-своему универсален.
На развитие и функционирование нашего общества влияет ряд основных причин. Эти причины рассматривает такая наука, как экономика. Экономика применяет различные количественные характеристики, а потому включает в себя множество математических методов. Одним из таких является линейная алгебра[1].
В линейной алгебре имеются различные методы решения задач. Основным и наиболее актуальным на сегодняшний день методом является применение элементов алгебры матриц. Особенно широко и часто его используют при разработке и использовании баз данных, в которых весь материал содержится и обрабатывается исключительно в форме матриц. Это делает задачи более простыми, а материал указан в более компактной и удобной матричной форме.
Таким образом, применение элементов линейной алгебры в значительной степени упрощает и делает более понятными методы решения многих задач экономики. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, в которой указываются её размеры в виде пары чисел m, n, где m – число строк в матрице, а n – число столбцов. Матрицы обозначается заглавной латинской буквой. Записывается матрица в следующих скобках: (A), [A], ║A║. Матрицы часто применяют во многих областях самых различных наук. Одна из таких наук — экономика. На примерах мы наглядно увидим преимущество использования матриц при решении многих экономических задач [3,4].
Данная задача наглядно показывает, что применение матриц упрощает решение подобных задач в несколько раз. Однако
стоит учитывать, что
в данном примере указаны всего несколько
видов продукции и два вида сырья, тогда как на предприятиях количество видов продукции или сырья могут достигать значительных величин.
Кроме применения матриц, в экономике многие задачи решают с помощью системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).
Один из методов решения СЛАУ — это метод Гаусса[3] или метод последовательного исключения переменных.
Система уравнений
приводится к равносильной системе
треугольного
вида,
из которой последовательно, начиная с последних (по номеру), находятся все переменные системы.
У предприятия имеется определенный тип материала, из которого по плану необходимо выкроить 360 заготовок штор типа А (бязь), 300 заготовок типа B (шелк) и 675 заготовок штор типа C (органза). Для этого можно использовать три различных способа раскроя. На основе данных составляем таблицу:
Таблица 1
Исходные данные задачи
|
Способы раскроя
|
Тип
заготовки
|
|
А
(бязь)
|
B
(шелк)
|
C (органза)
|
|
Простой
|
3
|
2
|
1
|
|
Обычный
|
1
|
6
|
2
|
|
Специальный
|
4
|
1
|
5
|
Обозначим через x, y, z количество материала, раскраиваемого тремя различными способами. Тогда при простом способе раскроя x будет получено 3 заготовок штор типа А, при обычном – 2y, при специальном – z. Составляем уравнение: 3x+2y+z=360
Для решения системы используем метод Гаусса[3,4]. Для этого мы запишем данную систему в виде матрицы и составим расширенную матрицу, а затем полученную матрицу приведем к треугольному виду.
В ходе решения получаем систему и решаем ее: x = 90, y = 15, z = 60.
Из полученных результатов составляем вектор C (90, 15, 60) . Это и есть решение системы (3).
На
данном примере мы наглядно показали, как с помощью применения линейной алгебры ( в данном случае — метод Гаусса), мы упрощаем решение сложных экономических задач, делая их наиболее компактными и понятными.
Список литературы
1. Мамаев И.И., Бондаренко В.В. Моделирование экономических процессов с использованием методов линейной алгебры // Аграрная наука, творчество, рост. – Ставрополь,
изД-во «АГРУС», 2013. – Т.1,Ч.1. – C.286.
2.
Кострикин А.И., Манин Ю.И. Линейная алгебра
и геометрия. – СПб.: Лань 2005. - С.365
3.
Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. – Изд-во ЮНИТИ – ДАНА. М., 2007. - С.479
4.
Применение математики в экономике. М.А. Евдокимов, Л. Н. Смирнова, Т.А. Бенгина, В.Н. Маклаков, О. С. Самойлова. - Самара: Самар. гос. техн. Ун-т, 2012. - С.116
