АНАЛИЗ ДВУХЭТАПНОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ КОМПЬЮТЕРНЫХ ВИРУСОВ

Известны несколько математических моделей распространения вирусов (сетевых червей) в компьютерных сетях. Обзор таких моделей приведен в [6]. Анализ простейших моделей содержится в [4]. В настоящей работе рассматривается модель, предложенная в [1,2]. Это двухэтапная модель, для которой принято сокращенное обозначение PSIDR. Объекты модели PSIDR будем называть компьютерами.

Обозначим: t – время. Объекты данной модели следующие: S(t) - количество работоспособных компьютеров, уязвимых для заражения данным вирусом (в дальнейшем – «уязвимые» компьютеры); I(t) – количество инфицированных (зараженных) компьютеров, относительно которых факт заражения не обнаружен (в дальнейшем – «инфицированные» компьютеры); D(t) - количество инфицированных (зараженных) компьютеров, относительно которых факт заражения обнаружен (в дальнейшем – «обнаруженные» компьютеры); R(t) –количество компьютеров, вылеченных от инфекции и ставших невосприимчивыми к заражению данным вирусом (в дальнейшем- «невосприимчивые» компьютеры).

Формально, модель PSIDR на обоих этапах распространения сетевого червя описывается системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений для этапа 1 приведено в [4]. Аналитическое решение системы дифференциальных уравнений для этапа 2 в источниках, доступных авторам настоящей работы, - отсутствует. В данной работе найдено аналитическое решение системы дифференциальных уравнений для этапа 2 и приведены явные выражения для функций S(t) и I(t). Найдено также явное выражение для оценки «урона», нанесенного вирусом.

Приведем краткое словесное описание этапов модели PSIDR.

Этап 1 (предварительный). Вирус, распространяясь от одного первоначально инфицированного

Список литературы

1.    Leveille J. Epidemic spreading in technological networks. Technical report HPL – 2002 – 287, HP Laboratories Bristol, October 2002.

2.   Williamson M.M., Leveille J. An epidemiological model of virus spread and cleanup. Technical report HPL – 2003 – 39, HP Laboratories Bristol, February, 2003.

3. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике.- М.:Наука, 1967.

4.   Захарченко А.А. Черводинамика: причины и следствия. Защита информации. - Конфидент, 2004, №2, с. 50-55.

5. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. – М.: Наука, 1976.

6.    Котенко И.В., Воронцов В.В. Аналитические модели распространения сетевых червей. Труды СПИИРАН. Вып. 4. – СПб: Наука, 2007.

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. – М.: Наука, 1969.