Известно, что в радиолокации при решении задачи сопровождения динамических объектов используется фильтр Калмана [1-4]. Наряду с известными достоинствами [5] ему характерен такой недостаток как расходимость формируемых оценок при неадекватности используемой математической модели. В случае слежения за маневрирующим летательным аппаратом причиной неадекватности математической модели может быть отсутствие информации об интенсивности маневра. В статье  предложен метод  адаптивной настройки фильтра Калмана в задаче слежения за динамическим объектом с неизвестным ускорением. В качестве математического аппарата, используемого при поиске решения, применена теория линейной фильтрации [4, 5] в сочетании с концепцией нечетких алгоритмов обработки информации [3, 6].

Математическая постановка задачи. Пусть модель движение динамического объекта и уравнение наблюдения имеют соответственно вид:

X( j +1) = Φ( j +1, j ) X( j ) + Γ ( j +1, j )(Ax ( j ) + Nx ( j )),j = 0,1, 2,K            (1)

Z( j ) = H ( j ) X( j )+ Nz ( j ),j = 0, 1, 2,K                                                         (2)

где

X( j ) = X(t j ) – вектор параметров движения объекта, 

Z ( j ) – вектор измерений, Φ ( j +1, j ) , Γ ( j +1, j ) , H ( j ) – известные функциональные матрицы, Ax ( j ) – вектор интенсивности маневра, элементы которого принадлежат априорно неизвестным диапазонам и представляют собой ускорения объекта по соответствующей координате, Nx ( j ), Nz ( j ) – случайные шумы объекта (1) и канала наблюдения (2) соответственно, имеющие нулевые математические ожидания и корреляционные матрицы Q( j ) ,R( j ) .

Требуется: по результатам текущих наблюдений )Z ( j ) получить оптимальную в среднеквадратическом смысле оценку X( j ) фильтрации вектора состояния (1) в условиях априорной неопределенности относительно значений элементов вектора ускорений Ax ( j ) .

Решение задачи. Для формирования оценки используем алгоритм фильтрации Калмана [5]:

где Xˆ ( j +1| j ) – оценка прогноза вектора состояния на моментj +1 , P ( j +1| j ) – симметричная матрица ошибок прогнозирования, P( j +1) – ковариационная матрица ошибок фильтрации
X( j+1)- X( j +1) ,K ( j +1) – коэффициент усиления фильтра, I – единичная матрица.

Видно, что в уравнении для прогноза оценки (4) отсутствует составляющая Γ ( j +1, j )Ax ( j ) , входящая в модель процесса (1). Это обусловлено, согласно постановке задачи, условием априорной параметрической неопределенности вектора Ax ( j ) . Таким образом, уравнение прогноза (4) имеет определенный уровень неадекватности относительно модели реального движения объекта (1). Данная неадекватность может привести к потере устойчивости и к росту ошибок фильтрации, как в любой момент времени, так и особенно в момент значительного  изменения  вектора  ускорений Ax ( j ) .   Последний    случай   характерен   при   интенсивном преднамеренном маневре цели [4]. 

Для обеспечения устойчивости фильтра (3)–(7) в условиях маневра цели необходима адаптация его параметров. В работе [7] показано, что адаптация фильтра к изменению ускорения цели возможна путем подстройки матрицы Q ( j ) , что в свою очередь вызывает изменение коэффициента усиления фильтра K ( j ) .

Наряду с достоинствами, предложенный фильтр характеризуется значительной динамической ошибкой при интенсивном преднамеренном маневре объекта, что обусловлено итерационной подстройкой параметров фильтра.

Для устранения данного недостатка целесообразно разработать алгоритм подстройки параметров фильтра, обеспечивающий непрерывное слежение за показателем невязки фильтра вида

и непрерывное изменение элементов матрицы Q ( j ) в зависимости от величины ε ( j ) .
Следует отметить, что невязка фильтра вида (8) может содержать как только флуктуационную ошибку измерений так и еѐ сумму с динамической ошибкой, обусловленной неадекватностью модели движения, использованной при синтезе фильтра, реальному движению.

В первой ситуации, то есть при флуктуационном характере невязки (8), целесообразно уменьшить еѐ влияние на прогноз оценки X ( j +1| j ) . Для этого, по аналогии с работой [7], необходимо уменьшить коэффициент усиления фильтра путем уменьшения значений дисперсий формирующих шумов, являющихся элементами матрицы Q ( j ) .

Во второй ситуации, то есть при наличии динамической ошибки, целесообразно увеличить влияние невязки (8) на прогноз оценкиX ( j +1| j ) . Для этого необходимо увеличить коэффициент усиления фильтра путем увеличения значений дисперсий формирующих шумов.

Для решения задачи идентификации текущей ситуации введем, по аналогии с работой [7], два дополнительных показателя невязки   , при этом для простоты изложения без потери общности примем, что невязка является скалярной:

С учетом принятых дополнительных показателей невязки и полагая, что априорно известен диапазон изменения невязки [emin ,...,emax ] , критерий идентификации текущей ситуации будет иметь вид

где приняты следующие обозначения:
–    0 – ситуация, когда невязка содержит только допустимую флуктуационную ошибку, адаптация фильтра не требуется;

–    1 – ситуация, когда невязка содержит динамическую ошибку, требуется адаптация фильтра;

–    2 – ситуация, когда невязка содержит недопустимую флуктуационную ошибку, требуется адаптация фильтра.

При задании показателей (9) и (10) важным вопросом является выбор числа измерений (n) , используемых при нахождении средних арифметических значений. Число измерений будет определять такие показатели

качества функционирования алгоритма адаптации, как вероятность ложного обнаружения маневра  (Pлт ) ,

вероятность правильного обнаружения маневра (Pпр.обн. ) , число измерений, выполненных после начала маневра, необходимых для его обнаружения  (m) . Таким образом, для выбора значения  (n) желательно иметь зависимость вида n = f (Pлт , Pпр.обн., m) , позволяющую по заданным требованиям к Pлт , Pпр.обн., m произвести его обоснование.

  Алгоритм адаптации в зависимости от принятого по критерию (11) решения о текущей ситуации должен соответствующим образом изменить значения элементов матрицы интенсивностей формирующих шумов Q ( j ) .

Учитывая, что матрица Q ( j ) в случае фильтрации декартовых координат объекта является диагональной, а еѐ элементами являются дисперсии ускорений по соответствующим координатам 

 , то можно говорить об адаптации именно дисперсий ускорений.

В дальнейшем для простоты изложения материала без потери общности рассмотрим случай фильтрации по одной координате, например x, когда справедливо 
Таким образом, для обеспечения адаптации фильтра к маневру объекта необходимо синтезировать алгоритм, реализующий с учетом (9)-(11) зависимость вида 
Синтез алгоритма адаптации по аналогии с [6] выполним в три этапа:

–       фаззификация – переход от точных исходных данных к нечетким на основе входных функций принадлежности;

–       решение задачи с использованием нечетких рассуждений (нечеткой логики);

–       дефаззификация –   переход от нечетких инструкций к четким   на основе выходных функций принадлежности.

использованием неадаптивного фильтра, фильтра с адаптацией на основе алгоритма (14), фильтра с адаптацией на основе алгоритма (12), (13). На Рисунке 2 приведены графики изменения абсолютной погрешности фильтрации для одной реализации при использовании фильтра без адаптации (график 1), фильтра с алгоритмом адаптации (14) (график 2), фильтра с алгоритмом адаптации (12), (13) (график 3). Видно, что в условиях преднамеренного маневра объекта значение показателя среднеквадратической ошибки для разработанного алгоритма адаптации фильтра примерно на 28% меньше значения аналогичного показателя для фильтра с адаптацией на основе алгоритма (14).

Однако следует отметить, что предложенный метод адаптации и соответствующий фильтр характеризуются большим значением флуктуационной ошибки по сравнению с классическим неадаптивным фильтром (в условиях примера на 11%).

Результаты моделирования свидетельствуют об эффективности применения разработанного алгоритма адаптации фильтра при оценивании параметров движения маневрирующих объектов.


Предложенный в статье метод адаптивной настройки фильтра Калмана в задаче слежения за

маневрирующим объектом с неизвестным ускорением позволяет снизить динамическую ошибку фильтрации (по результатам проведенного математического моделирования на 28%). В отсутствии маневра предложенный метод адаптации и соответствующий фильтр характеризуются большим значением флуктуационной ошибки по сравнению с классическим неадаптивным фильтром (в условиях примера на 11%).

Областью применения разработанного метода может быть информационно-математическое обеспечение радиолокационных систем, предназначенных для обнаружения и сопровождения траекторий динамических объектов.

Список литературы

1.      Булычев Ю.Г., Елисеев А.В. Проблемы жесткости уравнений приближенной нелинейной фильтрации. // Автоматика и телемеханика. 1999. №1. С. 35-45.

2.      Елисеев А.В. Алгоритм линейной фильтрации, устойчивый к сингулярным ошибкам. // Известия высших учебных заведений. Радиоэлектроника. 2005. т. 48. №10. С. 20-29.

3.      Елисеев А.В. Оценивание вектора состояния объекта на основе фильтра с нечеткой логикой. // Авиакосмическое приборостроение. 2006. №4. С. 30-38.

4.      Зингер Р.А. Оценка характеристик оптимального фильтра для слежения за пилотируемой целью. // Зарубежная радиоэлектроника. 1971. № 8. С. 40 – 57.

5.      Информационные технологии в радиотехнических системах / Под ред. И.Б. Федорова. М.: Из-во МГТУ им Н.Э. Баумана. 2003. 672 с.

6.      Музыченко Н.Ю. Синтез оптимального линейного измерителя при наблюдениях на фоне коррелированных шумов на базе нечетко-логических алгоритмов. // Радиотехника и электроника. 2010. Т. 55. №7. С. 808-811.

7.      Родкин М.М. Адаптивный метод настройки фильтра Калмана //   VI Всероссийская конференция «Радиолокация и радиосвязь». ИРЭ им Котельникова РАН. 19 – 22 ноября 2012. С. 125 – 128.