Финансовые рынки играют важную роль в современной экономике и привлекают внимание все большего количества людей. Составление оптимального портфеля ценных бумаг является важной практической задачей на фондовом рынке. Главные задачи при оптимизации финансового портфеля - максимизация ожидаемой доходности или минимизация рисков с учетом информации, доступной к данному моменту времени. На практике инвестор располагает достаточно ограниченной информацией, поэтому для прогнозирования риска применяются различные эконометрические модели.

В настоящей работе исследование проведено на примере акций компании Bank of America– американской банковской холдинговой компании, зарегистрированной с 1979 года. BAC является мировым лидером в области корпоративного и инвестиционного банкинга и торговли в широком диапазоне классов активов. Было проведено исследование исходных данных, рассмотрены несколько диффузионных процессов, используемых при моделировании  стоимости  акций,  оценены  параметры  моделей  для  построения  прогнозов  финансовых доходностей, и на основе критериев качества, примененных к тестовой выборке, выбрана модель, наилучшим образом описывающая процесс  изменений курса  акций. С помощью  метода имитационного  моделирования Монте-Карло на основе прогнозных распределений для оценки риска посчитан показатель Value at Risk и Conditional Value at Risk. Для вычислений, построения графиков и проверки гипотез использовались компьютерные программы MS Excel, Statgraphics и Crystal Ball. Анализ проводится на основе данных о дневных курсах акций компании, исходные временные ряды цен закрытия охватывают период с 5 января 2015 г. по 31 декабря 2015 г.

Таблица 1  

Структура выборки

Выборка	Кол-во значений	Период
Обучающая	215	05.01-08.08.2015
Валидационная	73	08.08-20.10.2015
Тестовая	72	20.10-31.12.2015

С целью соблюдения условия равенства временных интервалов уровни курсов в выходные дни были установлены по показателям, имевшим место на пятницу и понедельник (для субботы и воскресенья посчитано среднее значение между пятницей и понедельником). На основе данных о ценах для рассматриваемых акций были рассчитаны логарифмические доходности вида: Ut =ln (St / St-1), где St - текущий курс акции, St-1 – курс акции в предыдущий день.

Для изучения структуры временного ряда целесообразно применить автокорреляционную функцию (Autocorrelation Function – ACF) и ее график, называемый коррелограммой. Автокорреляционная функция оценивает зависимость изучаемого показателя от его предыдущих значений. Наряду с автокорреляционной функцией для исследования параметров тренда применяется частная автокорреляционная функция (Partial Autocorrelation Function – PACF). Она оценивает взаимосвязь между изучаемым показателем и его предшествующим значением при условии исключения влияния других уровней ряда. Визуализация отчета представлена с помощью графика ACF и PACF.

Значения коэффициентов автокорреляции исходного ряда практически не выходят за пределы доверительной трубки, что говорит о независимости текущих значений логарифмических доходностей от предыдущих либо о том, что распределение доходностей - с «толстыми хвостами» (fat-tailed distribution). Это распределение вероятности, отличное от нормального, которое имеет особенность проявлять большой коэффициент асимметрии (skewness) или эксцесс (kurtosis). Сравнение «толщины» часто делается относительно нормального распределения. Графически можно увидеть возможное присутствие «толстых хвостов», построив график квантилей (QQ-plot). Он нужен для того, чтобы сравнить распределение случайной величины с каким-то теоретически известным. В данном случае сравниваются квантили распределения логарифмических доходностей с квантилями нармального распределения. Квантили распределения доходностей акций BAC расположены на оси Y, квантили нормального распределения – на X. Исторические данные должны быть приближены к прямой, т.е наблюдаются отклонения от нормального распределения.

В Табл.2 указаны основные статистические показатели, описывающие распределение доходностей BAC. Особый интерес представляют коэффициент ассиметрии и коэффициент эксцесса, которые показывают, на сколько распределение отклоняется от нормального. Значения данных показателей за пределами ±2 указывают на отклонение распределения от нормального. В данном случае больше стандартного коэффициент эксцесса, который отражает остроту вершины и толщину хвостов распределения. Как правило, доходности акций распределены с положительным эксцессом - пик распределения выше, чем пик нормального, значения величин сосредоточены близко к средней величине. В результате существует риск недооценить потери, возникающие с большей вероятностью, чем оцененные из предположения о нормальном распределении доходностей.

Для моделирования стоимости акций Bank of America было выбрано 2 диффузионных процесса, которые наиболее часто используются для моделирования цен акций - модель случайного блуждания со сносом и геометрическое броуновское движение.

Процесс случайного блуждания (RWD)

Абсолютное значение ошибки представляется в процентах. Значения MAPE для модели случайного блуждания со сносом составили 9,92%, для модели геометрического броуновского движения 2,00%. На основе данного критерия, а также графического сравнения моделей, можно сделать вывод, что наиболее точно описывает процесс модель геометрического броуновского движения.

В тестовой выборке, состоящей из 72 значений, рассчитан коэффициент MAPE и произведено сравнение с наивным прогнозом (расчетом средней цены). Модель геометрического броуновского движения дает более точный результат (3,26%), чем наивный прогноз (4,49%).

Для расчета прогноза цен акций на 25 дней была использована формула

где Zi+1 – независимая случайная величина со стандартным нормальным распределением, моделируемая с помощью генератора случайных чисел в программе Crystal Ball. В результате 30000 повторений для цены акции на 25-й день были получены следующие распределения:

Расчет VaR: Для активов был рассчитан показатель Value at Risk (VaR) - стоимостная мера риска, величина убытков, которая с вероятностью, равной уровню доверия (обычно 95 или 99%), не будет превышена. VaR на 25 дней для акций рассчитан как разность между начальной ценой и прогнозной (с уровнем доверия 95%). VaR95(25) =16,83-15,56=1,27USD, т.е. с вероятностью 95% курс акции не упадет более чем на 1,18USD в течение ближайших 25 дней.

Расчет СVaR: VaR не предоставляет информации и потерях за его границами. Более осторожным критерием считается условный Var (Conditional VaR) – который является математическим ожиданием ущерба при условии, что он превысит значение VaR. Для этого при прогнозировании необходимо задать ограничение – пусть отображаются значения от - ∞ до цены портфеля при 95 уровне доверия.

Разность начальной цены акции и мат. ожидания стоимости акции за пределами VaR (Рисунок 19) равна СVaR95(25) = 16,83-15,33= 1,5 USD

Таким образом, средняя величина потерь через 25 дней при условии, что они превысят VaR с уровнем доверия 95%, составляет 1,5 USD на каждую акцию.

Несомненно, VaR является полезным инструментом при оценке риска. Но стоит помнить о том, что для его оценки используются те или иные модели, поэтому, прежде всего, перед применением необходима проверка их адекватности. Независимо от метода вычисления VaR все модели строятся на исторических данных, поэтому в условиях резких изменений на рынке оценка будет  некорректной. Хотя VaR и не является универсальным способом оценки риска, в условиях стабильного рынка он адекватно отображает величину риска и является полезным инструментом при его управлении.

 

Список литературы

1.     Financial Modeling with Crystal Ball and Excel, John Charnes, Wiley Finance, 2007

2.     A Stochastic Processes Toolkit for Risk Management. URL: https://www.fitchratings.com/web_content/sectors/qfr/stochastic_processes_for_riskmanagement.pdf       (дата обращения: 15.01.2016).

3.     Методы эконометрики и многомерного статистического анализа, Н.П. Тихомиров, Т.М. Тихомирова, О.С. Ушмаев, Экономика, 2011