14 апреля 2017г.
Вид кривой намагничивания материала определяется процессами, происходящими при проникновении магнитного поля в образец. Представляет интерес исследование кривой намагничивания высокотемпературных гранулированных сверхпроводников (ВТСП). Их поведение в магнитном поле заметно отличается от поведения обычных сверхпроводников. В массивных сверхпроводниках 2-го рода, помещенных во внешнее магнитное поле He , начиная со значения e С1 H H становится энергетически выгодным переход в смешанное состояние, когда магнитное поле частично проникает в толщу сверхпроводника в виде вихревых нитей. В то же время уравнения электродинамики формально допускают вплоть до термодинамического критического поля H С равновесные решения мейсснеровского типа с проникновением поля в тонкую приповерхностную область. Таким образом, существует возможность задержки проникновения вихрей в сверхпроводник для полей H e > H C1 . С точки зрения термодинамики это явление представляет собой “перегрев” мейсснеровского состояния. Максимальное поле H S1 , до которого возможен этот “перегрев”, определяется как граница устойчивости метастабильного мейсснеровского состояния по отношению к малым флуктуациям [1,2].
Аналогичная картина имеет место и в ВТСП. Однако физика происходящих в них процессов заметно отличается от того, что происходит в обычных сверхпроводниках. Важнейшую роль играет тот факт, что ВТСП состоят из сверхпроводящих гранул, в точках соприкосновения которых друг с другом возникают джозефсоновские контакты. Поэтому иной вид имеют вихри, иной физике соответствуют критические поля. В частности, характерные величины полей столь малы, что речь не может идти о переходе гранул в нормальное состояние (поэтому поле H S 2 , до которого существует мейсснеровское решение, отличается от термодинамического поля H С ). Вихри располагаются не в отдельных гранулах, а вовлекают в себя большое количество их, при этом токи проходят через джозефсоновские контакты между гранулами. Достаточно вспомнить, что такой контакт является существенно нелинейным элементом, чтобы представить себе сложность возникающей картины. Добавим к этому еще и зацепление (пиннинг) вихрей на пустотах между гранулами. Все эти моменты делают исследование поведения ВТСП во внешнем магнитном поле достаточно сложной задачей, требующей специального подхода.
В работах [3,4] предложена простая модель гранулированного ВТСП, представляющая собой кубическую решетку, состоящую из сверхпроводящих проводов, каждый из которых содержит один джозефсоновский контакт. На базе условий квантования флюксоида в ячейках этой среды получена система уравнений для расчета структуры возможных токовых состояний. Как показали расчеты [3-5], такой модели, которую принято называть трехмерной упорядоченной джозефсоновской средой, присущи все свойства, характерные для сверхпроводников во внешнем магнитном поле: мейсснеровские экранирующие токи, взаимодействующие друг с другом вихри, набор характерных магнитных полей и т.п., причем даже количественные соотношения аналогичны имеющим место в обычных и высокотемпературных сверхпроводниках. Поэтому использование этой модели целесообразно при анализе процессов, происходящих в реальных ВТСП.
В работе [5] рассмотрена устойчивость мейсснеровского состояния трехмерной джозефсоновской среды относительно малых флуктуаций скачков фазы на контактах. Показано, что величинаH S1 / H S 2растет с увеличением параметра пиннинга I и находится в пределах от 0.84 до 1, что согласуется с результатами, полученными для обычных сверхпроводников 2-го рода.
В сверхпроводниках второго рода предел мейсснеровского состояния определяется равенством энергий нормального и сверхпроводящего состояний с учетом энергии экранирующих токов и равенH С .
Если внешнее поле большеH С , то образец переходит в нормальное состояние. В рассматриваемом случае джозефсоновской среды эти соображения неприменимы. Что же будет происходить, когда внешнее поле превысит величину H S 2 и мейсснеровское состояние невозможно? В работе [6] предложен подход, основанный на анализе непрерывного видоизменения конфигурации, протекающего в направлении уменьшения потенциала Гиббса. Расчет [6] показал, что характер вихревой картины определяется величиной так называемого параметра пиннинга I , определение которого будет дано далее. При значениях I , больших некоторого критического IC (находящегося в диапазоне 0.7-0.8) вихри с ростом поля постепенно продвигаются от границы внутрь, а магнитное поле в глубине образца остается равным нулю. В [6] проведено исследование этого случая. Если же I < IC , то такая приграничная структура может существовать лишь до значения внешнего поляH max (I ) . При H > Hmax магнитное поле проникает внутрь образца на всю его глубину. Этот случай подробно исследован в работе [7]. В частности, детально анализируется полученная при монотонном увеличении внешнего магнитного поля начальная кривая намагничивания. Однако использованный метод дает возможность анализа ситуации не только при увеличении, но и при уменьшении магнитного поля, а также при его циклическом изменении.
Целью настоящей работы является расчет полной кривой намагничивания и исследование гистерезиса при циклическом изменении магнитного поля для случая I < IC . Сначала будем увеличивать внешнее магнитное поле H e . До значения поля H S реализуется мейсснеровское решение. Далее, приHS < He < Hmaxвозникает приграничная последовательность вихрей, полностью компенсирующая внешнее поле в глубине образца. При He > Hmax вихри проникают в образец на всю его глубину. Дойдя до некоторого значения поля H a , начнем отслеживать развитие ситуации при его уменьшении. Далее, достигнув значения - H a , снова начнем увеличивать поле. Таким способом будет исследован весь цикл.
Введем обозначения h = H / H0 и b = B / B0 , - нормированные напряженность и индукция магнитного поля, где H0 = F0 / m0 S и B0 = F0 / S- значения внешнего поля, при котором через каждую ячейкуплощадью S проходит 1 квант магнитного потока F0 .
Результаты расчетов
Критическое значение параметра пиннинга IC , вычисленное в работе [6], находится в диапазоне 0.7-0.8.
Для исследования было выбрано значение I = 0.7 < IC , при котором hS1 = 0.260 , hS 2 = 0.277 , hmax = 0.318 . Длина образца составляла 2N-1=59 ячеек.
Компьютерные расчеты полностью подтвердили возможность использования предложенного алгоритма для расчета проникновения поля в среду. Действительно, постепенным увеличением значения h от hS1 = 0.260 удается проследить постепенное изменение конфигурации токов. Расчеты позволяют получить кривую намагничивания (рис.1), т. е. зависимость средней индукции b от внешнего поля h.
Основная кривая намагничивания, то есть участок от А до В, получена в [7]. Интерес представляет обратный ход зависимости, начиная от точки 1. К сожалению, при H < -0.278 алгоритм перестает работать. Однако, как и в [7], можно воспользоваться аналогией с проникновением магнитного поля в длинный джозефсоновский контакт [8]. В работе [9] рассчитана петля гистерезиса для намагниченности такого контакта при циклическом изменении внешнего магнитного поля для случая I < IC . Можно ожидать, что и в рассматриваемом случае существует некоторая универсальная кривая, обладающая следующими свойствами.
1. При любых точках разворота петля, за исключением коротких участков на ее концах, лежит на универсальной кривой.
2. Вся кривая обладает строгой периодичностью с периодом 1 по обеим осям.
3. Участки обратного хода петли представляют собой перевернутые и направленные в противоположную сторону участки прямого хода. Иными словами, верхняя часть петли симметрична нижней относительно начала координат.
По аналогии с длинным
периодически модулированным
джозефсоновским контактом [9]
была построена универсальная кривая (рис.2). Все петли
гистерезиса, за исключением небольших участков наконцах, представляют собой участки этой кривой.
Вид петли определяется точкой поворота hа : 1-1′, 2-2′ и т.д. При уменьшении внешнего поля некоторое количество вихрей покидает контакт, после чего график выходит на стандартную кривую.
С уменьшением I качественный ход кривых рис.2 сохраняется, но уменьшаются высота и ширина «прямоугольников», а также толщина соединяющих их участков. Например, при I=0.1 «прямоугольники» имеют ширину и высоту примерно
0.1, а толщина соединяющих
участков не
превышает 0.02. Гистерезис продолжает проявляться при сколь угодно малых значениях параметра пиннинга. Казалось бы, при малых значениях параметра пиннинга
решение системы разностных уравнений должно быть аналогично решению дифференциального уравнения, соответствующего отсутствию пиннинга. Однако дифферен- циальное уравнение не дает ни периодичности по магнитному полю, ни гистерезиса при циклическом изменении поля, что соответствует сверхпроводникам II-го рода.
Дело в том, что периодичность решения системы разностных уравнений является следствием дискретности среды и поэтому не может проявиться в дифференциальном уравнении. Причина различий заключается
в
том,
что при отсутствии пиннинга предполагается,
что вся последовательность
вихрей устанавливается
сразу же, как только это становится
энергетически выгодным, т. е. при HC1 . В настоящей же работе мы имеем дело с “перегревом“ этого состояния до момента возникновения неустойчивости, т. е. до H S . И даже
после этого мгновенный
переход к энергетически выгодному состоянию, которому соответствует равномерное распределение вихрей по всей глубине образца, невозможен из-за пиннинга, который хоть и мал, но существует.
Список литературы
[1] Галайко В.П..// ЖЭТФ.1966. Т.50. С.717.
[2] Kramer L.// Phys.Rev.1968.Vol.170. P.475.
[3] Zelikman M.A.// Superconductor Science & Technology. 1997. Vol.10. №7. P.469-474. [4] Zelikman M.A.// Superconductor Science & Technology. 1999. Vol.12. №1. P.1-5.
[5] Зеликман М.А.// ЖТФ.2008. Т.78. №8. С.14-21. [6] Зеликман М.А.// ЖТФ.2009. Т.79. №9. С.47-57. [7] Зеликман М.А.// ЖТФ.2010. Т.80. №3. С.21-30. [8] Зеликман М.А.// ЖТФ.2009. Т.79. №12. С.19-25. [9] Зеликман М.А.// ЖТФ.2015. Т.85. №9. С.39-44.
