В классической механике движения твердых тел относительно неподвижной точки большое внимание уделяется так называемым интегрируемым случаям Эйлера, Лагранжа и Ковалевской, в которых уравнения движения имеют первые интегралы, позволяющие сократить порядок дифференциальности системы до единицы. В данной работе ставится задача определения влияния вязкой жидкости, находящейся в полости твердого, тела на его динамику в интегрируемых случаях. Решение подобных задач является актуальным, в связи с развитием ракетно-космической техники. Движение большинства элементов космических систем моделируется движениями твердых тел, систем твердых тел или твердых тел с жидкостью. Многие космические аппараты (КА) являются динамически симметричными, а их пространственное движение вокруг центра масс рассматривается как движение вокруг неподвижной точки, в том числе и под действием гравитационного момента. Эти условия во многом описываются интегрируемыми случаями.

В статье описывается получение математической модели движения твердого тела с вязкой жидкостью и вывод аналитических зависимостей, позволяющих проводить анализ движения.

Математическую модель движения произвольного твердого тела с вязкой жидкостью составим на основании метода, изложенного Черноусько Ф.Л. в работе [4]. Динамические уравнения движения примут вид:

Для случая Ковалевской получены аналогичные результаты.

Численное интегрирование уравнений движения показало, что движения систем с жидкостью и без неѐ сходны, а, следовательно, для исследования движения возмущѐнных систем можно применить асимптотические методы хотя бы на начальном этапе движения.

Для аналитического решения динамической системы (1) воспользуемся методом Пуанкаре [2]. Согласно методу, точное решение системы аппроксимируется своим разложением в ряд по степеням малого параметра:

В данном случае ограничимся точностью аппроксимации порядка ε, то есть оставим в (4) только первые два слагаемых и подставим их в динамическую систему. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях малого параметра, получим порождающую систему и систему для поправок.

Порождающая система выглядит следующим образом:

Из графика видно, что аналитическое решение довольно хорошо совпадает с численным на начальном интервале времени, что соответствует теории метода Пуанкаре.

Таким образом, в статье приведены математические модели движения твердого тела с вязкой жидкостью, в том числе и в интегрируемых случаях; проведено сравнение движения твердого тела с жидкостью и без жидкости; получены приближенные аналитические зависимости параметров движения твердого тела с вязкой жидкостью от времени.

Разработанные математические модели могут применяться для описания движения КА, содержащих вязкую жидкость, а найденные аналитические решения представлены в достаточно общем виде, что определяет возможность использования их в различных областях науки и техники.

 

Список литературы

1.     Маркеев, А.П. Теоретическая механика: Учеб. пособие для университетов [Текст]/А.П. Маркеев. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. – 416 с.

2.     Моисеев, Н.Н. Асимптотические методы нелинейной механики [Текст] / Н.Н. Моисеев // М.: Наука. – 1969.– 380 с.

3.     Черноусько, Ф.Л. Движение твѐрдого тела с полостями, содержащими вязкую  жидкость [Текст]/Ф. Л. Черноусько. – М.: Изд. ВЦ АН СССР, 1968. –286с.

4.     Алексеев, А.В. Приведение спутника-гиростата с полостью с жидкостью к системам твердых тел с вязким трением [Текст] / А.В. Алексеев, А.В. Дорошин // Общероссийский научно-технический журнал «Полѐт». – 2007. – № 9. – С. 26-33.