12 марта 2016г.
На основе экспертно оцененных зависимостей была создана имитационная модель «растительность- лемминги-песцы», учитывающая сезонные изменения параметров.
В результате проведенных исследований тундрового сообщества «растительность-лемминги-песцы» [Глушков и др., 2013; Саранча,
1997] получаем разностное уравнение, связывающее численности леммингов в двух соседних
годах, с помощью которого
удалось воспроизвести временную
динамику, качественно близкую к динамике численностей реальных популяций
леммингов (Рисунок
1).
Здесь P – прирост биомассы леммингов в благоприятный год; величина d – нормированная биомасса леммингов в оптимальном биотопе (понятие
“оптимальный биотоп”
было введено в работах [Глушков и др., 2013; Саранча,
1997] и подразумевает область пространства
обитания с оптимальными условиями проживания; в оптимальном биотопе при любых условиях выживает
определенное число зверьков), коэффициент r – характеризует изменение биомассы
леммингов в условиях
нехватки кормов в весенний период.
С помощью
данного разностного уравнения
удалось сформулировать гипотезы
о механизмах формировании колебаний численности тундровых животных; выделить
три главных показателя, их определяющих: 1) скорость прироста
биомассы в благоприятный год; 2) максимальную численность; 3) выживаемость в наиболее
неблагоприятных условиях
(или двух безразмерных - относительной скорости прироста популяции и доли гарантированно выживших зверьков). Первый
показатель характеризует баланс между процессами рождаемости и смертности в отсутствии "давления среда"; второй характеризует экосистему в целом и отражает
коэволюцию леммингов
и кормовой базы;
третий характеризует адаптационные свойства леммингов в экстремальных условиях и во многом
определяется локальными характеристиками, в частности рельефом местности в местах перезимовки.
Особую остроту данным исследованиям придал тот факт, что для моделируемой популяции леммингов Западного Таймыра типичными являются
чередование максимумов численности через три года. В то же время цикл периода три в порядке Шарковского гарантирует существование циклов любой длины [Шарковский, 1964; Шарковский, 1982]. В данном сообщении
показано, что для уравнения (1) предложен
такой бифуркационный сценарий, при котором
реализуется изменение
периода циклов в порядке натурального ряда.
На Рисунке 2 [Недоступов и др., 2010]
представлены результаты вычислительных экспериментов, проведенных с уравнением (1) при Р = 2 и r = 100.
Характер динамических режимов
исследовался при изменении параметра d от 1 до 0. На
Рисунке 2 можно выделить зоны
стабильности, которые отделены
переходными зонами со сложными режимами
(черные вертикальные полосы).
Имеет место следующее
Утверждение 1. Для уравнения (1) при изменении параметра d от 1 до 0 последовательно появляются зоны стабильности, которые отделены переходными зонами со сложными режимами. Внутри зон стабильности период траекторий постоянный, при переходе от одной зоны стабильности к другой период изменяется в порядке натурального ряда. В каждой
из переходных зон при небольшом
изменении параметров период
траекторий значительно изменяется
(«стохастическое поведение»), при этом существуют
периодические траектории с периодом большим любого наперед заданного
натурального числа. При этом «ширину»
переходных зон можно сделать как угодно малой
при стремлении параметра r к бесконечности.
Период траектории при данном d визуально определяется на Рисунке 2 следующим
образом: проводится вертикаль от некоторого фиксированного значения на оси абсцисс,
количество пересечений этой вертикали с траекторией определяет период
траектории при данном
d.
Рассмотрим Рисунок 4. Период траектории при данном параметре d определяется следующим образом: проводится вертикаль
от некоторого d, сколько
раз она пересечет траекторию, таков и будет период. Проведем вертикали от точек А, B, C, D. Все вертикали, проведенные на отрезке
AB, пересекают траекторию 4 раза. По аналогии: на отрезке
CB – 8 раз, на отрезке DC – 6 раз. То есть образованы зоны чередования периодов траектории в последовательности 4, 8, 6.
Рассмотрим Рисунок 5. Правее точки A период траекторий равен 4, а левее – меняется в последовательности
8, 10, 6.
Рассмотрим Рисунок 6. Правее точки A период траекторий равен 8, а левее – меняется в последовательности
12, 14, 10, 14, 6. Хотя период 14 на данном рисунке не различим,
но он четко наблюдается при дальнейшей детализации Рисунка
3.
Для более детального изучения
свойств рассматриваемых отображений введём вспомогательную конструкцию – линию возврата (ЛВ) [Недоступов и др., 2010].
Определение.
ЛВ n-го порядка (ЛВn) для отображения F называется кривая в прямоугольнике A £ Xt £ 1; 0 £ Xt+1 £ A, являющаяся графиком функции Fc(n)(Xt+1)
, которая отображает отрезок 0 £ Xt+1 £ A на отрезок A £ Xt £ 1 по описанному ниже алгоритму.
Алгоритм построения ЛВn.
Через любое значения
Xt+1 из отрезка 0 £ Xt+1 £ A в прямоугольнике A £ Xt £ 1; 0 £ Xt+1 £ A проведем горизонтальную линию. Берем любую точку Xt+1 из отрезка 0 £ Xt+1 £ A и проводим в прямоугольнике A £ Xt £ 1; 0 £ Xt+1 £ A через нее горизонтальную линию. Точка пересечения с графиком исходной
функции за положение равновесия ПР дает начальную
точку. Графически построим траекторию, используя лестницу Ламерея. При n-ом возврате за положение равновесия от биссектрисы угла между
осью абсцисс и осью ординат опускаем соответствующую вертикальную линию. Точка пересечения этой линии с тестирующей горизонтальной линией
принадлежит ЛВn, с координатами (Xt, Xt+1). Делаем
аналогичную процедуру со всеми точками
Xt+1из отрезка
[A, 1] и соединяя
все точки пересечения получим ЛВn. Тем самым в указанном выше прямоугольнике каждому значению Xt+1 соотнесено значение
Xt, т.е. задана
функция Xt = ЛВn (Xt+1). Пример ЛВ1 для треугольного отображения представлен на Рисунке
7 (AD1A1D2A2D3A3D4A4). Графическая реализация алгоритма
построения ЛВ1 и ЛВ2 для треугольного отображения представлена на Рисунках
8 и 9 соответственно.
Рисунок 7 наглядно демонстрирует возможность с помощью линий ЛВm полностью описать траекторию более чем на 2m тактов, в смысле символьной
динамики: при выбранных
начальных условиях
удается указать в каких зонах оказывается траектория при каждом
из m возвратов за ПР.
Утверждение 2.
Точки
пересечения ЛВn с графиком исходной функции F задают периодические траектории. При этом с помощью ЛВn можно отыскать все периодические траектории с периодом,
меньшим или равным
n.
Определение.
Область от точки А до точки А1 называется зоной двойки,
область от точки
А1 до точки А2 называется зоной тройки и т.д.
Для треугольного отображения AD1A1 является зоной двойки, A1D2A2 – зоной тройки,
A2D3A3 – зоной четверки,
A3D4A4 – зоной пятерки.
Отметим, что в зоне формирования ЛВ зона 2 занимает
половину, зона 3 – оставшуюся половину, зона 4 – снова оставшуюся половину и так далее. Разъясним
смысл двух вертикальных линий, построенных из точек 1 и 2 на Рисунке
2. Линии возврата введены, чтобы определить, где будет траектория после n-го возвращения. Исходя из алгоритма построения
ЛВ, имеем: если вертикальная линия левее первой, то попадаем в зону двойки, если между первой
и второй, попадаем
в зону тройки, и так далее.
Номер зоны определяет количество тактов, через которые траектория снова попадет за ПР, а также период цикла, проходящего через точку пересечения графика исходной функции
и ЛВ1.
Утверждение 3.
Точка пересечение ЛВ с графиком исходной
функции (ГИФ) лежит на периодической траектории. Доказательство.
Это следует
из определения ЛВ. Утверждение 4.
Линии ЛВ могут быть построены
как фрагменты Fn, зеркально повернутые на 90о. Доказательство.
Возьмем любую точку на ЛВ, сформированной Fn-1, зеркально повернутой через биссектрису на 90о и проведем горизонталь до биссектрисы. В этой точке имеется значение
Fn-1. Из этого значения
(в соответствии с алгоритмом Ламерея) проведем
горизонталь до биссектрисы и из точки пересечения опустим вертикаль. Эта вертикаль
попадёт в исходную
точку, которая построена зеркальным поворотом Fn-1.
Утверждение 5.
Точки пересечения ЛВ с ГИФ лежат на периодических траекториях периода n. Доказательство.
Повторяем рассуждения, аналогичные приведенные выше. Возьмем
любую точку пересечения ЛВ с ГИФ и проведем
горизонталь до биссектрисы. Этой точке соответствует некоторое
значение функции
Fn-1. Из этого значения (в соответствии с алгоритмом Ламерея)
проведем горизонталь до биссектрисы и из точки пересечения опустим вертикаль
до пересечения с ГИФ. В точке пересечения находится ЛВ, сформированная Fn-1, зеркально повернутой на 90о. Таким образом, получаем цикл периода n.
Утверждение 6.
Указанные выше
точки представляют собой полный набор точек периода n, лежащих за ПР (в зоне формирования ЛВ).
Доказательство.
Возьмем любую периодическую точку периода n, находящуюся за ПР. Она должна находиться (согласно Утверждению 5) в точке пересечения некоторой ЛВ с ГИФ. Если эта точка находится
на траектории периода n, то проведем горизонталь до биссектрисы. Этой точке соответствует некоторое
значение функции Fn-1. Из этого значения (в соответствии с алгоритмом Ламерея)
проведем горизонталь до биссектрисы и из точки пересечения опустим вертикаль
до пересечения с ГИФ (графиком
исходной функции).
В точке пересечения находится исходная точка. Поскольку точка выбрана
произвольно (из соответствующих точек,
находящихся за ПР (положение равновесия)), то тем самым Утверждение 6 доказано.
Утверждение 7.
Пусть n некоторый период. Для треугольного отображения (ТО) имеют место
следующие формулы. Координаты точек циклов периода n за положением равновесия (в зоне формирования ЛВ) определяются, исходя из анализа точек пересечения ЛВ (полученных зеркальным поворотом через биссектрису на 90 градусов вправо функций Fn ) с графиком исходной функции. Уравнения
для их определения имеют вид:
X = (4i-2)/(2*2n +1) для возрастающего ската i=1,…, 2n-1; X = (4i-2)/ (2*2 n -1) для
убывающего ската i=1,…, 2n-1.
В этой формуле индекс
i определяет порядковый номер зубца (среди последовательности зубцов ЛВ), сформированных Fn-1 зеркально повернутой на 90о
функцией Fn-1. При этом отсчет начинается с самого нижнего зубца (ближайшего к оси абсцисс).
Из приведенных формул для случая треугольного отображения (ТО) с опусканием
ступеньки и из формулы (1) следует
Утверждение 8.
Утверждение 8.
Координаты, ограничивающие область реализации цикла с данным
периодом для ТО, при опускании ступеньки определяются по формулам
X = (4*i-2)/( 2*2n +1) для границы
ближней к ПР ( i=1,…, 2n-1 );
X = (4*i-2)/ (2*2n -1) для границы дальней от ПР ( i=1,…, 2n-1 ).
Инструментарий линий возврата ЛВ [Недоступов и др., 2010] идеально
подходит для анализа результатов вычислительных экспериментов с опусканием ступеньки. Если ступенька
находится в некотором
месте, то ее пересекают ЛВn, реализуется ЛВ с наименьшим номером,
среди тех ЛВn, которые выше графика
исходной функции.
Таким образом, анализ последовательности возникновения циклов при «опускании ступеньки» сводится к исследованию смены минимальных номеров
ЛВn, которые
выше графика исходной функции.
Для определения таких номеров
будем проводить следующую
процедуру: будем последовательно рассматривать ЛВ с возрастающим номером
n. В таком процессе появляются области разрешенные, в которых отсутствуют ЛВn, которые выше графика
исходной функции и с номерами меньшими
n, и запрещенные области, в которых уже есть такие ЛВn, которые выше графика
исходной функции и с номерами
меньшими n. Запрещенную область будем называть
теневой, и когда зубец ЛВ с очередным
номером n попадает в занятую, теневую область, будем говорить,
что зубец попал в тень.
Разрешенные области
образуют «псевдоканторово множество» – область с «выброшенными фрагментами». Это «решето» может быть вычислено
непосредственно по формулам пересечения ЛВ с графиком исходной функции.
Рассмотрим процесс опускания ступеньки
от положения равновесия (ПР). Сначала
идет цикл периода 2, поскольку ЛВ1 в зоне двойки находится
выше графика исходной функции.
Затем, в точке пересечения ЛВ1, ЛВ2 и графика
исходной функции (при 2/5), линия ЛВ1 уходит под графиком исходной
функции, а выше графика исходной функции оказывается ЛВ2 и возникают циклы периода 4. Потом ЛВ2 уходит
под график исходной функции, но в этой точке нет ЛВ3, характеризующей цикл периода 6. Возникает «дыра». И в этой дыре реализуются все четные циклы. Причем (при опускании
ступеньки) последовательно возникают циклы в соответствии с теоремой
Шарковского и те циклы,
которые эта теорема не запрещает.
Координаты цикла
периода
(n+1) в зоне формирования ЛВ определяются, исходя из анализа
точек пересечения ЛВk, сформированными F n и графиком исходной функции.
Уравнения для определения координат
точек периодических траекторий, находящихся правее ПР. Эти точки находятся на пересечении графика исходной функции с фрагментами ЛВ, полученных зеркальным поворотом F (n) через биссектрису на 90 градусов вправо.
Уравнения для их определения имеют вид
X = (4i-2)/(2*2n +1) для возрастающего ската i=1,…, 2n-1;
X = (4i-2)/ (2*2 n -1) для убывающего ската i=1,…, 2n-1. Имеет место Утверждение 9.
Утверждение 9.
Между точками периода
4 и 6 находятся
все четные циклы.
Рассматривая последовательно ЛВ со все большими номерами n, приходим к следующей последовательности
циклов:
4, 8, 6;
4, 8, 10, 6;
4, 8, 12, 10, 6;
4, 8, 12, 14, 10, 14, 6;
4, 8, 16, 12, 16, 14, 10, 14, 16, 6;
4, 8, 16, 12, 16, 18, 14, 18, 10, 18, 14, 18, 16, 6.
Для периода 20: 4, 8, 16, 20, 12, 20, 16, 20, 18, 14, 18, 10, 20, 18, 14, 18, 20, 16, 20, 6.
Для периода 22: 4, 8, 16,
20, 12, 20,
16, 20, 22, 18, 22, 14, 22, 18, 22, 10, 20, 22, 18, 22, 14, 22, 18 , 22, 20,
16,
20, 22, 6.
Для периода 24: 4, 8, 16, 24,
20, 12, 24,
20, 24, 16, 24, 20, 24, 22, 18, 22, 14, 22, 18, 22, 24, 10, 20, 24, 22,
18,
22, 24, 14, 24, 22, 18, 22, 24, 20, 24, 16, 24, 20, 24, 22, 6.
Для периода 26: 4, 8,
16, 24, 20, 12,
24, 20,
24,
16, 24,
20,
24, 26, 22, 26,
18, 26,
22, 26,
14, 26, 22, 26, 18,
26,
22, 26, 24, 10, 20, 24, 26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 26, 14, 26, 24, 26, 22, 26, 18, 26, 22, 26, 24, 20, 24, 26, 16, 26, 2 4,
20, 24, 26, 22, 26, 6.
Для периода 28: 4, 8, 16, 24 ( 3*8), 28 (7*4), 20 (5*4), 28, 12 (3*4), 24 (3*8), 28, 20, 28, 24, 28, 16, 28, 24, 28,
20, 28,
24, 28, 26 (13*2), 22 (11*2), 26, 18 (9*2), 26, 22, 26, 14
(7*2),28, 26, 22, 26, 18,
26, 22, 26, 28, 24, 28,
10 (5*2) ,
20 (5*4),
28, 24, 28, 26, 22, 26, 28, 18, 28, 26, 22, 26, 28, 24, 28, 26, 14, 28, 26, 28, 24, 28, 26, 22, 26, 28, 18, 28, 26,
22,
26, 28, 24, 28, 20, 28, 24, 28, 26, 28,16, 28, 26, 28, 24, 28, 20, 28, 24, 28, 26, 22, 26, 28, 6 (3*2).
Приведенные последовательности смены
циклов
при
изменении бифуркационного параметра в рассматриваемом
диапазоне, не противоречат порядку Шарковского.
Работа выполнена при финансовой поддержке ОМН-3, РФФИ-14-01-90011.
Список литературы
1.
Глушков В.Н., Саранча Д.А..
Комплексный
метод
математического
моделирования
биологических объектов.
Моделирование
тундрового сообщества // Автоматика и телемеханика. 2013. №2. С. 94 -108.
2.
Недоступов Э.В., Саранча Д.А., Чигерев
Е.H., Юрезанская Ю.С. О некоторых
свойствах одномерных унимодальных отображений // ДАН. 2010. Т. 430. №1. C. 23-28.
3.
Саранча Д.А. Количественные методы
в
экологии. Биофизические аспекты
и
математическое моделирование. М.: МФТИ, 1997, 283 с.
4. Шарковский А.М. //Укр.мат.журн. 1964.
Т.16. №1. С. 61-65.
5. Шарковский А.М. Разностные
уравнения и динамика численности популяций. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1982. 22 с.
