Происхождение задачи.

В данной работе проведен анализ разностного уравнения, полученного    в результате моделирования тундрового сообщества «растительность-лемминги-песцы» [Глушков и др., 2013;        Саранча, 1997].     Для нормированной переменной  L = L / Lmax получаем разностное уравнение, связывающее численности леммингов в двух  соседних годах (Lmax – максимальная численность леммингов), с помощью  которого удалось воспроизвести временную динамику, качественно близкую к динамике численностей реальных популяций леммингов

Здесь P – прирост биомассы леммингов в благоприятный год; величина d – нормированная биомасса леммингов в оптимальном биотопе (понятие “оптимальный биотоп” было введено в работах [Глушков и др., 2013; Саранча, 1997] и подразумевает область пространства обитания с оптимальными условиями проживания; в оптимальном биотопе при любых условиях выживает определенное число зверьков), коэффициент r – характеризует изменение биомассы леммингов в условиях нехватки кормов в весенний период. Будем далее называть величину d ступенькой.

Система.

Рассмотрим более подробно разностное уравнение (1). Для общности дальнейшего изложения обозначим Y (t) =  . В случае Р = 2 и r = 100 можно говорить и о      других аналогах треугольного отображения. Зададим параметр A и пусть d(A)=1-r(A-1/P). Будем, если не оговорено другое, исследовать траекторию, стартующую со «ступеньки» d(A), т.е. исследовать свойства устойчивого цикла развития системы: Y(0)= d(A). Для t=1, 2, … рассчитаем Y(t+1) по Y(t) согласно формуле (1). Нас будут интересовать различные характеристики этой траектории: множество достижимых состояний системы Y(t) при различных t, циклические структуры траекторий, их периоды и т.п. при различных сочетаниях значений параметров P, r и d(A). Пусть величины A, P и r и заданы. Они однозначно определяют величину d(A). В дальнейшем зависимость d от A будет опускаться.

Объекты исследования. Нас будут интересовать следующие множества и показатели. Прежде всего, в пространстве параметра d и фазы Y рассмотрим множество

A(d) = {(d, Y(t)), t= 0, …, N}.

В дальнейшем принято N=1000. Построим и исследуем множества A(d) для всех dÎ[0, 1]:

A={A(d): dÎ[0, 1]}.

Эти множества при больших значениях N можно считать приближениями аттрактора рассматриваемой системы.

Нас также будет интересовать величина, характеризующая периодичность рассматриваемой траектории: Period(d) = min {t: |Y(t)-d|£ D, t=1, …, N}, где D – заданная точность «замыкания» цикла. В дальнейших исследованиях, если не оговорено другое, принято

D =10-8.

Нас также будут интересовать множества

B(d) = {(d, Y(t), Period(d)), t=0, …, N}, B = {B(d): dÎ[0, 1]},

которые представляют график длины цикла, заданный в точках (d, Y) аттрактора A.

Мы будем также рассматривать карты периода цикла как функции параметров P и d (при фиксированном значении r), т.е. множества

C = (P, d, Period (d)).

Метод исследования. Будем исследовать рассматриваемое отображение с помощью его визуализации. Однако предварительно его необходимо построить в явном виде. Применяемая в настоящей работе технология исследований разрабатывалась в Вычислительном Центре РАН им. А. А. Дородницына, начиная с 80-х годов прошлого века. Она носит название метода Множеств Достижимости / метода Достижимых Целей [Лотов и др., 1997; Lotov et al., 2004].

Приведем краткое описание применяемой технологии для случая аппроксимации и визуализации нелинейных отображений. Множество T, TÌS, называется метрической e-сетью для множества S, если любая точка S расположена на расстоянии не большем, чем e от некоторой точки T. Метрические сети позволяют кодировать бесконечные вполне ограниченные множества кончеными наборами точек. Если T – метрическая e- сеть для S, то e-окрестность T, т.е. множество (T)e, аппроксимирует множество S. Это значит, что TÌSÌÈ{B(x, e): xÎT}, где B(x, e) есть шар радиуса e с центром в точке x. Таким образом, чем меньше e, тем точнее аппроксимация, но тем больше требуется точек метрической сети. В методе множеств достижимости для нелинейных систем для построения аппроксимаций используется метод Глубоких Ям [Каменев, 2001].

На нижеследующих Рисунках представлены аппроксимации различных множеств. Поскольку используется метрика Чебышева, то метрические шары являются кубами (в двумерном случае – квадратами). Поэтому двумерные множества состоят из совокупности мелких квадратов. Трехмерные множества состоят из совокупности мелких кубов. Изображаются их двумерные сечения, каждому сечению соответствует свой цвет. Для визуализации используется технология Диалоговых Карт Решений [Лотов и др., 1997; Lotov et al., 2004].

Исследование периода. На бифуркационной диаграмме Рисунок 1 с помощью метрических эпсилон-сетей представлена аппроксимация множества A={A(d): dÎ[0, 1]}. На рисунках по оси абсцисс отложен параметр d, а по оси ординат – множество значений Y(t) при t=0, …, N.

Из этого Рисунка видны свойства возрастающего хаотического поведения системы при приближении параметра d к 0.

На Рисунке 2 представлена аппроксимация множества B={B(d): dÎ[0.01, 1]} с помощью метрических эпсилон-сетей. Множество B являются расслоениями множества A по показателю Period(d), т.е. графиком этой функции в точках A.

На Рисунке по оси абсцисс отложен параметр d, а по оси ординат – множество значений Y(t) при t=0, …, N. Цвет (интенсивность штриховки) соответствует значению показателя Period(d). Одному и тому же цвету может соответствовать несколько значений величины Period. Палитра цветов представлена на рисунке слева.

Из рисунка видно, что при приближении значений величины d к нулю возникают траектории со сколь угодно большим периодом. В данном случае изображена часть графика при d≥0.01, поэтому максимальное значение периода цикла при данных значениях параметров P и r и точности «замыкания» цикла D не превышает 128.

Пусть теперь P=r=2, т.е. рассматривается треугольное отображение, дополненное ступенькой. На Рисунке 3 представлена аппроксимация множества B={B(d): dÎ[0.01, 1]}.

Шкала справа обозначает период траектории. Поскольку изображена часть графика при d≥0.01, то максимальное значение периода цикла при данных значениях параметров P и r и точности «замыкания» цикла D не превышает 31.

Из приведенных рисунков видно, что слои периодов формируют i-кратные треугольные отображения, повернутые на 90 градусов.

Карта параметров по периоду. На следующих рисунках представлены карты графика C = (P, d, Period (d)) в виде совокупности слоев графика при различных диапазонах значений периода. Соответствие значений периода цвету (на черно-белом изображении – штриховке) представлено на рисунках в палитре слева.

На Рисунке 4 на абсциссе отложено значение параметра P, на ординате – параметра d. Цветом дано значение Period(d) из диапазона соответствующего цвету. Например, плато вверху справа характеризует сочетания этих двух параметров, в которых период равен 1, 2 или 3. На черно-белых рисунках каждый цвет представлен штриховкой определенной густоты. На рисунках видны горные хребты из точек с большим периодом (на данных рисунках – более темные).

На Рисунке 4 представлены только точки с PÎ[1.5, 5] и dÎ[0.01, 0.5]. Видно, что при приближении к левому нижнему углу (точке с минимальными значениями параметров) значение основного периода резко возрастает, а «хребты» высоких периодов учащаются. Для рассмотрения случая малых значений параметров рассмотрим следующий рисунок.

На Рисунке 5 представлены точки с PÎ[1.05, 1.25] и dÎ[0.01, 0.5]. При сравнении с предыдущим рисунком заметно значительное возрастание основного периода, и резкое учащение «хребтов» сверхвысоких периодов. При дальнейшем уменьшении параметров P и d период устремляется к бесконечности, т.е. возникает сингулярность периода, которая характеризуется понятием «катастрофа голубого неба».

Следующие рисунки представляют карты периода при r=10.

В целом, представленные рисунки свидетельствуют об углублении хаотического поведения системы, по сравнению со случаем r=100. На последнем рисунке в левом нижнем углу отсутствует изображение точек с периодом цикла, большем 1000. В этом случае фронт «катастрофы голубого неба» особенно нагляден.

Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект 14-11-00432), ОМН-3, РФФИ (проект 14-01- 90011).

Список литературы

1.     Глушков В.Н., Саранча Д.А. Комплексный метод математического моделирования биологических объектов. Моделирование тундрового сообщества // Автоматика и телемеханика. 2013. №2. С. 94 -108.

2.     Каменев Г.К. Аппроксимация вполне ограниченных множеств методом Глубоких Ям // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2001. Т. 41. №11. С. 1751-1760.

3.     Лотов А.В., Бушенков В.А., Каменев Г.К. и Черных О.Л. Компьютер и поиск компромисса. Метод достижимых целей. М.: Наука, 1997.

4.     Саранча  Д.А.  Количественные  методы  в  экологии.  Биофизические  аспекты  и  математическое моделирование. М.: МФТИ, 1997, 283 с.

5.     Lotov A.V., Bushenkov V.A., and Kamenev G.K. Interactive Decision Maps. Approximation and Visualization of Pareto Frontier. Boston: Kluwer Academic Publishers, 2004.