19 июня 2018г.
Математические модели технических систем применяются для выбора оптимальных режимов их работы, построения систем автоматического управления. При переходе к оптимизации технической системы требуется знание их характеристик. Для этого строят математические модели, в уравнения которых входят конструктивные и режимные параметры объекта. Методы составления таких уравнений заключаются в теоретическом анализе происходящих явлений.
Технические объекты можно разделить на объекты с сосредоточенными параметрами и распределенными, состояние которых характеризуется параметрами, распределенными в пространстве. К такому классу технических систем относятся многие производственные процессы, например, нагрев металла, пластмасс и др.
Методы построения моделей систем с сосредоточенными параметрами довольно хорошо развиты, однако адекватность таких моделей низка. Это объясняется тем, что реальные технические объекты являются сложными системами, математическое описание, которых не может быть втиснуто в рамки обыкновенных дифференциальных уравнений. Таким образом, возникла необходимость дальнейшего развития методов построения моделей процесса нагрева объектов с распределенными параметрами. Это направление находит практическое применение во многих технических приложениях.
Требования, предъявляемые к ведению процесса нагрева, состоят в следующем: в течение всего процесса температура не должна превышать некоторой величины, в конечный момент времени нагрева температура должна быть равна заданной. Производительность технической системы, в основном, определяется длительностью нагрева, поэтому стремление к минимальному времени нагрева должно быть согласовано с вышеперечисленными требованиями.
На практике закон изменения управляющего воздействия, обеспечивающий меньшую продолжительность нагрева, часто подбирают экспериментально. Использование математической модели позволяет иначе подойти к исследованию процесса нагрева и разрешить на стадии проектирования установки те проблемы, для решения которых раньше могли быть использованы лишь интуиция и опыт. Такой подход открывает новые возможности повышения производительности технологического оборудования, улучшения качества продукции и совершенствования организации труда. Этим определяется большое народнохозяйственное значение и актуальность создания систем оптимального управления и их техническая реализация.
На практике реализация оптимального управляющего воздействия может быть выполнена лишь приближенно. Степень приближения и, следовательно, качество управления тем выше, чем сложнее технические средства, применяемые для реализации найденного управляющего воздействия. Но чем сложнее система, тем из большого числа элементов она состоит, что приводит к увеличению ее стоимости, уменьшению надежности и т.п.
Задачу оптимального управления процессом нагрева сформулируем следующим образом. При произвольных возмущениях, определить такое реализуемое управляющее воздействие, при котором длительность нагрева до заданной температуры будет минимальной, и будут выполняться все ограничения, наложенные на переменные.
Возмущающее воздействие часто представляет собой температуру окружающей среды, которая меняется во времени. Если процесс нагрева является периодическим процессом с небольшим временем периода, то в течение одного периода температура окружающей среды изменяется незначительно, следовательно, возмущение можно представить, как изменение начальных условий для каждого периода. Вследствие этого, возникает задача построения такой системы, которая была бы оптимальной и в то же время нечувствительной к малым возмущающим воздействиям.
Для нахождения оптимального управляющего воздействия необходимо знание математической модели объекта, под которой понимается совокупность математических и логических действий, указывающий соответствие между множеством входных и выходных координат.
Коэффициенты модели определяем при решении обратной задачи процесса нагрева, которая, как правило, является неустойчивой. В этом случае точность модели слабо зависит от значений коэффициентов, рассчитанных при некоторых начальных условиях, однако она может оказаться весьма чувствительной к изменениям начальных условий, т.е. к возмущениям.
Ставится задача: построить математическую модель рассматриваемого процесса. Для этого надо выбрать структуру модели и найти ее коэффициенты. Из анализа конкретного процесса нагрева, выбирается структура модели: наиболее часто собственно процесс нагрева описывается уравнением теплопроводности, а теплообмен с окружающей происходит по закону Стефана-Больцмана с учетом конвекции или по закону Ньютона.
Изделия, полученные в процессе нагрева, в зависимости от назначения должны иметь определенное качество. Все эти свойства в большой степени зависят от условий нагрева и температурного поля в материале. В случае отклонений от установленной температуры нагрева неизбежен брак.
Для линейных задач с линейными граничными условиями можно получать решения аналитическими методами, среди которых наиболее известны классические методы и методы интегральных преобразований. Из классических методов решения уравнения теплопроводности распространен метод Фурье, который состоит в том, что находится совокупность частных решений, удовлетворяющих уравнению и граничным условиям, а затем по принципу наложения составляют ряд из этих решений. Коэффициенты находятся из начальных условий. Решения, получаемые классическими методами, не всегда удобны для практического использования, т.к. представляют собой бесконечный ряд.
Часто линейное уравнение теплопроводности с линейными граничными условиями решают следующим образом. Посредством преобразования Лапласа по одной из переменных совершается переход из пространства оригиналов в пространство изображений, что приводит к замене уравнения теплопроводности обыкновенным дифференциальным уравнением. После решения уравнения в изображениях, производится обратное преобразование Лапласа, которое и приводит к решению первоначальной задачи. Существуют и другие интегральные преобразования, например, Ханкеля и т.д. Если изменение переменных происходит в конечной области, то применяют конечные интегральные преобразования.
Вышеперечисленные методы позволяют решать сравнительно узкий круг задач. При решении нелинейного уравнения теплопроводности с нелинейными граничными условиями, точное решение можно получить лишь в частных случаях. Рассмотрим приближенный метод решения прямой нелинейной задачи теплопроводности, основанный на кусочно-линейной или кусочно-ступенчатой аппроксимации граничной функции и зависимости температуры от координаты с последующим разбиением их по временным интервалам и расчетным слоям. Решение на каждом интервале находится при помощи классических или других методов, в предположении, что теплофизические коэффициенты изменяются в зависимости от температуры скачкообразно при переходе от одного участка разбиения к другому. Для получения общего решения используется метод припасовывания.
При рассмотрении задач с нелинейными граничными условиями аналитические методы наталкиваются на большие трудности. В этом случае наиболее эффективны численные методы решения.
Можно указать два основных численных метода для решения уравнения теплопроводности, метод сеток или конечных разностей и метод прямых. В методе прямых уравнение теплопроводности аппроксимируется системой обыкновенных дифференциальных уравнений, которые в нелинейном случае приходится решать численным методом, а в методе сеток – системой конечно-разностных уравнений. Как известно разностные схемы разделяются на два класса: явные и неявные. Явные схемы позволяют легко вычислять значения искомого решения в узлах сетки. Но они имеют большой недостаток: для того чтобы они были устойчивы, необходимо налагать сильные ограничения на сетку. Неявные схемы свободны от этого недостатка, но при их использовании приходится решать систему алгебраических уравнений с большим числом неизвестных. Эффективным методом решения таких систем является метод прогонки.
Задача идентификации состоит в определении коэффициентов уравнений математической модели по известному решению. Такая задача для дифференциальных уравнений называется обратной, в отличие от обычной задачи интегрирования, когда заданы начальные и граничные условия и требуется найти решение.
Характерной особенностью многих обратных задач является то, что они некорректно поставлены. Считается, что задача поставлена корректно, если выполняются следующие требования: решение задачи существует, решение задачи единственно, бесконечно малым изменениям исходных данных, соответствует бесконечно малое изменение решения, т.е. решение непрерывно зависит от данных задачи. Условие непрерывной зависимости решения от начальных данных задачи иногда называют устойчивостью.
Рассмотрим методы решения обратных задач. Можно выделить три основных метода решения обратных задач: непосредственная минимизация невязки, выделение множества корректности, построение регуляризующего алгоритма.
Широко распространенный приближенный метод решения обратной задачи – это метод непосредственной минимизации невязок. Математическая сущность его состоит в том, что решается прямая задача для некоторого подкласса решений и решение выбирается таким, чтобы минимизировать невязку. Чаще всего в расчетах используется пространство интегрируемых с квадратом функций.
Если имеется набор исходных экспериментальных данных, снятых при различных начальных условиях и возмущениях, то коэффициенты уравнений, найденные из условия минимизации справедливы, строго говоря, только для тех начальных условий, при которых они рассчитывались. Распространить их на любые начальные условия можно лишь для устойчивых задач, т.е. мы не знаем, принадлежит ли точное решение множеству, определяемому принятой структурой модели.
Неустойчивость получаемого решения обуславливается тем, что решение ищется в слишком широком классе функций. Для того, чтобы задача была устойчива, необходимо сузить множество, на котором сохраняется устойчивость, оно называется множеством корректности.
Большое распространение для решения неустойчивых обратных задач получил метод регуляции, суть которого заключается в том, что решение неустойчивой задачи, рассматривается как предел решений специальным образом построенной последовательности устойчивых задач. Метод регуляции основан на стабилизации невязки. В данной постановке исходят из того, что известны не только приближенные входные данные, но и та точность, с которой они заданы. Выбор параметра регуляризации существенно зависит от информации относительно приближенного значения входных данных.
Подведя итог, можно сказать, что, решая обратную задачу по первому методу можно получить решения точно соответствующие экспериментальным данным, но неустойчивые. По второму методу можно получить устойчивое решение, но тем больше отличающееся от экспериментального чем больше ограничения, наложенные на множество рассматриваемых функций. По третьему методу получаем устойчивое приближение к истинному решению с точностью задания экспериментальных данных. При этом класс рассматриваемых функций не сужается.
