МЕТОД ОЦЕНКИ ТОЧНОСТИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИМИТАЦИОННОЙ МОДЕЛИ ПРИ ОТСУТСТВИИ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

Статья посвящена изложению разработанного метода оценки точности выходных параметров имитационной модели по отношению к параметрам возможного эксперимента, и является дальнейшей разработкой метода применения приближенных чисел [1] в моделировании. Применение приближенных чисел при моделировании определения диапазона значений многомерной функции в зависимости от диапазонов изменения аргументов было представлено в статье [2].

При решении ряда важных инженерных задач возникает вопрос выбора пути оценки характеристик изучаемого объекта: экспериментальный подход или имитационное моделирование. Как правило, экспериментальный подход является дорогостоящим и часто недостаточно информативным из–за сложности измерения некоторых определяющих процесс величин в ходе эксперимента.

Имитационное моделирование включает в себя математические методы и алгоритмы, позволяющие получать полную картину исследуемого объекта. Возможности современной вычислительной техники позволяют на новом уровне вернуться к вопросу описания объектов и технических систем, дополняя компьютерным моделированием выходные данные, что часто недоступно при аналитическом и экспериментальном решении. Основываясь на научно–теоретических предпосылках, имитационное моделирование осуществляется в  результате численного расчета, где сложность и детализация модели может сколь угодно увеличиваться, добиваясь все более точного соответствия объекту исследования. И, следовательно, появляется возможность проводить многократные расчеты, изменяя параметры модели, взамен дорогостоящим экспериментальным исследованиям.

Имитационная модель – модель изучаемой сложной технической системы, имитирующая структуру и функции ее подсистем, взаимодействующих во времени.

Пусть имеются два численных набора – набор выходных численных эквивалентов эксперимента {РВЭj} и набор соответствующих выходных численных данных моделирования {РВМj}. Оценка точности моделирования сводится к оценке разности │РВЭj –  РВМj│ по  каждому j–ому выходному параметру эксперимента и моделирования, то есть к нахождению Dj, для которого:

│РВЭj – РВМj│ < Dj.                                                                                                                                      (1)

Однако, соотношение (1) применимо только при наличии двух наборов – {РВЭj} и {РВМj}. При отсутствии экспериментальных данных {РВЭj} (например, у технических систем военного назначения, для которых проведение эксперимента не всегда возможно) соотношение (1) неприменимо.

Другой из наиболее распространенных способов формальной оценки точности и адекватности разработанной модели – это использование методов математической статистики. Суть этих методов заключается в проверке выдвинутой гипотезы (например, об уровне точности или адекватности модели) на основе некоторых статистических критериев. При проверке гипотез методами математической статистики необходимо иметь в виду, что статистические критерии не могут доказать ни одной гипотезы: они могут лишь указать на отсутствие опровержения. Кроме того, статистические методы применимы только в том случае, если оценивается точность или адекватность существующей системы. Для проектируемой системы или системы, где отсутствуют экспериментальные данные, провести оценки с использованием методов математической статистики не представляется возможным.

Предлагаемый метод позволяет определять аналоги Dj для каждого выходного параметра из {РВМj} при наличии имитационной модели М и отсутствии эксперимента. Метод использует материалы [1] при следующих дополнительных рассуждениях. В результате анализа моделируемой системы проводится детализация с учетом цели и задач, решаемых создаваемой имитационной моделью М, определяется множество подсистем {ФПn} исходной системы и множество их связей {ФСm} с другими подсистемами. На рисунке 1 представлена иллюстрация в соответствии с выявленной структурой моделируемой системы и множеств {ФПn} и {ФСm}, с зависимостями из {ФСm} и их композициями, со значениями этих композиций в узлах и с множеством выходных параметров {РВМj} модели М, позволяющая обосновать связность и логическую непротиворечивость принятого сценария имитационной модели – структуру алгоритма для синтеза модели, созданной по результатам проведенного анализа системы. При выполнении этих условий получается сценарий создаваемой имитационной модели М и, дополнительно, множество используемых в дальнейшем операций {Wk} для определения множества выходных параметров {РВМj} модели М. Необходимо отметить, что при синтезе модели по этому сценарию в алгоритме АМ модели М используются только некоторые определенные операции из {Wk} в соответствующем узле, который участвует в имитации.

Метод базируется на введенной операции ® на множестве {Wk} с численными диапазонами: D1 ® D2 = D3, где ® – определяемая в работе операция, D1, D2 и D3 – численные диапазоны. Каждый рассматриваемый диапазон определяется парой чисел. Например, диапазон Di – парой чисел Dci и DDi, где Dci – центр i–ого диапазона, DDi – половина длины i–ого диапазона (радиус). И будем это обозначать как Di= (Dci, DDi). Предлагаемый вид операции ® представляет собой композицию из трех компонент: ®= {R, R∆, Rδ}, где R – используемая в каждом конкретном случае операция в соответствии с алгоритмом AM имитационной модели М и определяющая вид компонент R∆ и Rδ. Операция R определена на множестве действительных чисел, представляющих центры диапазонов. Компонента R∆ определена на множестве положительных действительных чисел, представляющих радиусы диапазонов, и предназначена для работы с параметрами абсолютной погрешности, используемыми для оценки точности моделирования.

Наиболее        используемые         бинарные операции приведены в таблице 1. При необходимости, вид других бинарных операций можно получить с использованием формул из строк 5 и 6 таблицы 1. Пусть операция ® применена к двум диапазонам D1 и D2, являющимися входными операндами операции ®. В результате применения операции ® получим диапазон D3 = D1 ® D2 – выходной операнд операции ®, композиция диапазонов D1 и D2. Диапазон D1 определен парой чисел Dc1 и DD1, диапазон D2 – парой чисел  Dc2 и DD2. Композицией диапазонов D1 и D2 будет диапазон

D3, определенный парой чисел Dc3 и DD3, где Dc3= Dc1 R Dc2 и DD3=DD1 R∆ DD2. Замкнутость операции ® в данной постановке означает, что для каждого числа a1 из диапазона D1 (т.е. êa1 – Dc1ê

Алгоритм АМ предназначен для вычисления конкретных численных выходных параметров {PBМj}. Для определения точности численных выходных параметров {PBМj} имитационной модели М относительно численных параметров эксперимента {PBЭj} необходимо в алгоритм АМ вычисления параметров {PBМj} внести некоторые дополнения. Все выражения во всех операторах присваивания этого алгоритма представим суммой операторов присваивания с выражениями в правой части, содержащими не более двух переменных, т.е. операторы присваивания – бинарные операции. Это всегда можно сделать с введением дополнительных переменных и учетом последовательности выполнения арифметических операций в выражении, стоящим в правой части оператора присваивания. Причем, это преобразование не изменяет структуру и функцию алгоритма АМ, а также сохраняется порядок выполнения операций. Этими действиями из алгоритма АМ получается алгоритм AМL.

В алгоритме AМL кроме бинарных операций присутствуют операторы вычисления значений аналитических и аппроксимационных зависимостей типов j и типов y.

Зависимость типа j – используемая в модели аналитическая зависимость, выражающая некую точную математическую или физическую зависимость. Зависимость типа y – используемая в модели аналитическая зависимость, выражающая некую аппроксимационную зависимость физического процесса.

Точность вычисления аналитической зависимости зависит от точности представления в модели ее аргументов, точности выполнения арифметических операций конкретной ЭВМ и от точности вычисления самой аналитической зависимости. Это показано соотношениями в строках 6 и 7 таблицы 1. Точность вычисления аппроксимационной зависимости типа y зависит еще от погрешности ее аппроксимации Dy, что учитывается соотношениями в строках 8 и 9 таблицы 1. Само Dy определяется как максимальное значение различий экспериментальной и аппроксимационной точек, участвующих в получении аппроксимационной зависимости (например, методом наименьших квадратов). Определенные таким образом операторы вычисления значений аналитических зависимостей двух типов типа j и типа y также являются замкнутыми из–за возможности разбиения аналитической зависимости опять же на бинарные операции и введении поправки Dy.

Следующий шаг для решения поставленной задачи – создание алгоритма AМLD. Для этого: 

1.   Все используемые в модели М входные данные представляются в виде численных диапазонов {Di}. Для каждого i–го входного аргумента можно определить множество его упорядоченных значений [ani, aki] и по нему определить два числа Dci = (aki + ani) / 2 – среднее значение диапазона и DDi = (aki – ani) / 2 – радиус диапазона. Эти два числа определяют основной диапазон Di = (Dci, DDi) – 1 вариант представления входных данных модели М. Входные диапазоны {Di} используются для оценки точности моделирования по каждому выходному параметру в целом. Аналогично определяется диапазон di – 2 вариант (вспомогательный) представления входных данных модели М для расчета точности моделирования по каждому выходному параметру конкретного эксперимента. Для его определения используется множество [anni, akki] – диапазон точности представления конкретного входного параметра PНМi в модели для расчета конкретного эксперимента: êPН0Мi – PНМiê< DPНМi, где PН0Мi – неизвестное точное значение конкретного входного параметра, PНМi – известное приближенное значение конкретного вводимого параметра и его точность DPНМi . Отсюда следует, что PНМi – DPНМi < PН0Мi < DPНМi + DPНМi, и anni = PНМi – DPНМi, akki = DPНМi + DPНМi, откуда и получаем dci и Ddi. Эти два числа определяют вспомогательный диапазон di = (dci, Ddi) конкретного эксперимента. В материалах статьи [2] используется 1 вариант представления входных данных модели М.

2.     Проведена модификация алгоритма AМL для получения усовершенствованного алгоритма AМLD. Для этого, после каждого выполняемого оператора алгоритма AМL вставлены операторы вычисления выходного диапазона Di или di данной операции ® в соответствии с таблицей 1. Необходимо отметить, что алгоритм AМLD помимо расчета выходных параметров {PBМj} имитационной модели М позволяет производить оценку точности расчета выходных параметров самого алгоритма.

При наличии имитационной модели М ее алгоритм АМ всегда можно доработать до алгоритма AМLD.

На рисунке 1 представлена структура метода оценки точности выходных параметров.

Все узлы являются  результатом выполнения бинарной операции присваивания, результатом вычисления аналитической или аппроксимационной функций.В результате работы алгоритма AМLD на выходе для каждого j–ого выходного параметра получим: РВМj и его диапазон (РВМсj, DРВМj). Для каждого j–ого выходного параметра алгоритма AМLD модели М:

Покажем, что в этом диапазоне с центром РВМсj и радиусом DРВМj содержится и соответствующий численный параметр эксперимента РВЭj. Действительно, в каждом входном диапазоне Di или di содержится и входной численный параметр эксперимента РНЭi, используемый для проведения эксперимента. Все операции у нас замкнутые, следовательно, при выполнении промежуточных операций, в их выходном диапазоне содержится и соответствующий параметр эксперимента, и в конечном счете в диапазоне, определяемом РВМсj и DРВМj, содержится соответствующий численный параметр эксперимента:

êРВЭj – РВМсj ê< DРВМj.                                                                                                                              (3)

Рассмотрим выражение │РВЭj – РВМj│ и преобразуем его следующим образом:

│РВЭj – РВМj│= │РВЭj – РВМсj + РВМсj - РВМj│ ≤ |РВЭj – РВМсj| + |РВМсj – РВМj| = |РВЭj – РВМсj| + |РВМj - РВМсj| = (и используя (2) и (3)) < DРВМj + DРВМj = 2DРВМj.

Проведена оценка точности численного экспериментального параметра РВЭj, полученная без проведения эксперимента, т.е. 2DРВМj есть аналог Dj для всех j £ N.

В статье представлен разработанный метод оценки точности выходных параметров имитационной модели по отношению к параметрам возможного эксперимента, базируясь на котором была создана прикладная программа, решена задача замера атмосферных параметров на заданной высоте. Тестовые расчеты показали работоспособность предлагаемого метода оценки точности выходных параметров имитационной модели по отношению к параметрам возможного эксперимента.

Список литературы

1. Гмурман В.Е. Элементы приближенных вычислений. М.: Высшая школа, 2005, 93 с.

2.    Чесноков В.Ю. Метод определения диапазона значений многомерной функции в зависимости от диапазонов изменения аргументов. Материалы международной научно-технической конференции «Информатика и технологии. Инновационные технологии в промышленности информатике» «МНТК ФТИ-2017». – М.: МТУ, 2017, с. 351-354.