13 января 2016г.
Анализ любого фондового рынка на базе математических моделей является очень актуальной задачей для экономистов по всему миру. Так образом, уже было развито много моделей, которые в свою очередь широко и успешно используются для построения портфелей инвестиций. Один из самых существенных элементов подобных моделей является исследование совместного поведения ценных бумаг. Данный анализ осуществляется на исследовании их попарных корреляций.
В том случае, если фондовый рынок функционирует эффективно, он выступает как мощное средство стабилизации экономики. Поэтому анализ особенностей развития фондового рынка, а также исследование факторов, которые оказывают существенное влияние на его общее функционирование, является актуальным. [3]
Фондовый рынок и ценные бумаги. В структуре экономических отношений фондовый рынок играет особую роль, потому что на нем выступает объектом купли-продажи такой специфический товар как ценные бумаги.
Финансовый рынок представляется как система экономических отношений, которые возникают между участниками рынка при предоставлении сберегателями временно свободных денежных средств пользователям.
Финансовый рынок каждой страны состоит из двух частей: денежного рынка и рынка капиталов.
Разделение финансового рынка на эти две составляющие определяется характером обращения финансовых ресурсов, которые обслуживают оборонный и основной государственный капиталы.
Фондовый рынок – это финансовый рынок, на котором выполняются различные операции, как правило, купли-продажа, ценных бумаг (например, акции, облигаций и других). Реально деньги, обращаемые на фондовом рынке ничего не стоят, но они имеют ценность, которая в свою очередь определяется активами, которые стоят за этими бумагами (драгоценности, движимое и недвижимое имущество и т. д.). [1]
Фондовые рынки обладают значительными финансовыми ресурсами, которые попадают на фондовый рынок и влияют на складывающуюся на рынке ситуацию. [1]
Ценная бумага – такой документ, который удовлетворяет с соблюдением установленной формы и обязательных реквизитов имущественному праву; осуществление или передача этих бумаг возможна только при предъявлении.
Для того чтобы дать полную характеристику такой категории, как ценная бумага, необходимо рассмотреть основные свойства, которые присущие ей: ценная бумага свидетельствует о праве собственности на капитал (акции); ценная бумага отражает отношения займа между инвестором и эмитентом (векселя и т. п.); ценная бумага дает право на получение определенного дохода от эмитента; акций (как один из видов ценных бумаг) дают право на участие в управлении акционерным обществом; ценные бумаги дают право на получение доли в имуществе предприятия-эмитента при его ликвидности.
Рыночный граф. Основные понятия и метрики. Для того, чтобы применить полученные знания о фондовом рынке на практике, необходимо построить модель исследуемого рынка, включая построение самого рыночного графа, а также рассмотрение различных показателей, необходимых для анализа ситуации на фондовом рынке. Основные понятия о графах представлены в работах [2] и [6] Чтобы построить рыночный граф необходимо использовать стандартные характеристики финансовых активов. Пусть Pi(t) – цена финансового актива i в день t, причем i = 1, … , N, а t = 1, … , n. Тогда доходность ценной бумаги i за период в один день высчитывается по формуле:
Ri(t)=ln(Pi(t)/Pi(t−1)) (1)
Обозначим среднюю доходность ценной бумаги i на протяжении n дней за
.Дисперсия доходности ценной бумаги i за n дней можно рассчитать по следующей формуле:
. Кроме того можно найти коэффициент корреляции для финансовых активов i и j:
, где i = 1, … , N и j = 1, … , N.[4] (2)
Для того, чтобы построить рыночный граф используются данные о ценах акций. Именно по этим данным сначала находим доходности по формуле (1), а затем для выбранного интервала времени высчитываем коэффициенты корреляции по формуле (2) для всех возможных пар акций, взятых для анализа данного рынка. В результате формируется корреляционная матрица, содержащая информацию о структуре исследуемого рынка за выбранный интервал времени, в частности, распределение (или гистограмма) элементов полученной матрицы может дать представление о частоте появления того или иного значения коэффициента корреляции доходности акций.
Для построения рыночного графа существует следующая схема: каждой вершине графа рынка соответствует одна из выбранных для исследования акций. Ребро, которое соединяет вершины i и j (где i ≠ j), следует добавить в граф, при условии, что соответствующий коэффициент корреляции сij равен или больше выбранного порогового значения θ = [−1,1]. [7]
Франкфуртская фондовая биржа, ее анализ, расчет показателей. В данной работе рассматриваются и сравниваются два фондового рынка: российский и немецкий. Причем, данные о первой были взяты из работы [7]. За основу немецкой фондового рынка была взята Франкфуртская фондовая биржа, которая является самой старой и самой крупной биржей в Германии, а также четвертой в мире.
Как известно, на Франкфуртской фондовой бирже котируются более 1000 компаний, таким образом получается, что на ее долю (по настоящим подсчетам) приходится 75% всего германского биржевого оборота по акциям и 74% оборота по облигациям.
Для того чтобы применить полученные знания на практике, были взяты данные стоимости 20 различных на Франкфуртской фондовой биржи в период 501 рабочих последовательных торговых дней в период с 2013 по 2015 года (февраль 2013 – январь 2015). Кроме того, данный промежуток времени был разделен на 5, которые состоят из 101 торговых дней. В исследовании были приведены акции 20 известных немецких компаний (Adidas, Bayer, BMW, Henkel и т. д.).
В соответствии с правилами и алгоритмом построения графа рынка, был таковой сформирован с помощью уже высчитанных коэффициентов корреляции и используемой компьютерной среды MatLAB.
Для сравнения показателей Франкфуртской фондовой биржи была выбрана другая, данные о которой были уже рассмотрены в работе [7], а именно в данной работе представлено сравнение с российским фондовым рынком.
Для анализа фондового рынка важной характеристикой является плотность распределения, которую иллюстрирует гистограмма. [6]
Анализируя гистограмму ФФБ по всему периоду, можно отметить один ярко выраженный локальный максимум, а также несимметричность распределения. В то время как для российского рынка этот показатель иллюстрирует, что плотность является также имеет четко выраженный локальный максимум, а также не симметричную форму. Также, в отличие от немецкого фондового рынка, более 60% значений коэффициентов корреляции рынка России находится в интервале [0; 0,3], в то время как для Германии этот процент расположен на интервале [0; 0,4].
С целью анализа зависимости структурных свойств фондового рынка Германии, а именно Франкфуртской фондовой биржи, от времени рассматриваемого периода, равного двум годам, данный промежуток времени (500 торговых дней) был поделен на 5 периодов по 100 дней каждый. Для каждого этого «маленького» периода было выполнено исследование, аналогичное тому, которое проводилось для целого периода в 500 дней. А рис.3 показаны плотности распределения коэффициентов корреляции для каждого периода на немецком рынке.
Сравнение плотностей разных периодов иллюстрирует, что распределение всех периодов имеют разные формы, однако наиболее схожими являются распределения за 3-й и 4-й периоды (рис. 3). Одной и причин данного явления может быть зависимость от сдвига во времени совместных распределений исследуемых случайных величин.
Отметим, что результаты анализа российского фондового рынка, представленные в работа [7], показывают схожесть первый трех периодов, а также резку смену формы кривой уже в 4-м периоде. Такая динамика скорее всего была следствием зависимости от сдвига по времени распределений случайных величин.
Для того, чтобы найти максимальную клику рыночного графа Франкфуртской фондовой биржи, был использован алгоритм из работы (Carragan, Pardalos, 1990), которое определяет кликовое число (размер максимальной клики), а также находит состав данной максимальной клики.
Проанализировав общую часть максимальных клик для различных порогов, следует отметить, что максимальные клики рыночного графа Германии определяются в основном крупными автомобилестроительными и химическими (фармацевтическими) компаниями.
Сравнение рынков Германии и России при значениях порога {0,6;0,7,0,8} не имеют сильных различий. В табл. 2 представлен анализ изменения размера максимальной клики по разным периодам.
Данные в табл. 2 показывает, что изменения не очень существенны, потому что для каждого из порога нет больших скачков в количестве акций, что входят в максимальную клику: разница между максимальным и минимальным числами для каждого порога различается максимум на 2.
Как и в полученных данных о максимальных кликах по Франкфуртской фондовой биржи, на российском рынке также отмечают существенное увеличение размера максимальной клики с течением времени.
Для поиска максимального независимого множества графа рынка был использован тот же самый алгоритм, но в данном случае он применялся к дополнительному графу.
Рассмотрим динамику изменения количества акций, входящих состав максимального независимого множества для каждого из пяти периодов для Франкфуртской фондовой биржи. Проанализировав полученные данные, можно отметить монотонное уменьшение количества акций, которые входили в максимальное независимое множество. По результатам работы [7] следует, что для рынка России характерно также монотонное уменьшение количества акций, составляющих максимальное независимое множество.
Также были исследованы фирмы, акции которых вошли в состав максимальных независимых множеств для каждого из пяти периодов при значении порога равного 0,15, и был сделан вывод, что максимальное независимое множество состоит из организаций, которые занимаются разработкой программного обеспечения и производство электротехники.
Заключение. Данное исследование показывают, что метод анализа фондовых рынков, которые были взяты в основу данной работы, позволяет найти интересные структурные свойства любого фондового рынка.
Результатом исследования ФФБ, а также сравнение ее с ММВБ были найдены основные характеристики рыночного графа, а также была установлена зависимость от изменения промежутка исследуемого времени. В основном, эти результаты были достигнуты благодаря построению рыночного графа для франкфуртской биржи, который получается из полного взвешенного графа посредством удаления ребер с весами, которые оказываются меньше того или иного заданного порога. Как уже было сказано, такой граф имеет не только степенной закон распределения степени вершин, но и особые характеристики, которые являются содержательными, а также имеют очевидную интерпретацию в экономике.
Список литературы
1. Берзон Н. Рынок ценных бумаг /М. Юрайт, 2013/ C. 86-110/ ISBN 978-5-9916-2679-8
2. Емельянова Т.В., ЗЮЗИНА А. Б. Управление большими системами // УБС 2014. Материалы XI всероссийской школы-конференции молодых ученых. М.: ИПУ РАН, 2014, с. 558-568
3. Тьюлз Р., Брэдли Э., Тьюлз Т. Фондовый рынок /М.: ИНФРА-М, 2000. /С. 647. /ISBN 5-86225-530-3, 0-471-54019-6.
4. Чистяков, В.П. «Курс теории вероятностей», М., 1982.
5. Maslov E., Batsyn M., Pardalos P.M. Speeding up branch and bound algorithms for solving the maximum clique problem // Journal of Global Optimization. 2014. Vol. 59. No. 1. P. 1-21.
6. Newman, М. The structure and function of complex net-works. // SIAM Review, 2003. – Vol.45. – P.167-256.
7. Vizgunov A., Goldengorin B., Kalyagin V., Koldanov A., Koldanov P., Pardalos P.M. Network approach for the Russian stock market// Computational Management Science – Springer Berlin Heidelberg// C. 45-55
