05 июня 2017г.
OPERATION ANALYSIS AND SYNTHESIS OF COMPLEX SYSTEMS
Viktor Vyskub, Vladimir Tselischev
(Viktor Vyskub, Doctor of sciences, professor, Republican Research and Consulting Center of Expertise, Moscow; Vladimir Tselischev, Candidate of Science, assistant professor, Moscow Finance and Low Academy)
АHHОТАЦИЯ
Рассмотрена методика оперативного анализа и синтеза систем, которая позволяет определить выходные характеристики новой разрабатываемой аналогичной системы с приемлемой инженерной точностью.
ABSTRAKT
The article describes the technique of operational analysis and synthesis of difficult systems, which enables to determine the output characteristics of a new similar systems with acceptable precision engineering.
Ключевые слова: сложная система, оперативный анализ, проектирование, линейные пространства, входные, выходные характеристики.
Keyword : difficult systems, operational analysis, design ,linear space, input\ output characteristics.
При проектировании сложных систем, конструкторы и разработчики систем всегда ставят задачу определения выходных характеристик сложных систем. На ранних этапах проектирования эта задача затрудняется тем, что нет полной информации о зависимостях выходных характеристик от входных. Если существуют аналогичные ранее разработанные системы с известными входными и выходными характеристиками, хотя и с неизвестными зависимостями входа от выхода и конструкторы пытаются разработать систему с улучшенными характеристиками, то опираясь на предыдущие разработки можно приближенно рассчитать выходные характеристики (целевые функции) разрабатываемой системы.
Пусть существуют три ранее разработанные системы: А1; А2; А3 с известными входными и выходными характеристиками, хотя и с неизвестной зависимостью выходных характеристик от входных.
Представим входные характеристики ранее разработанных систем в виде векторов:
А1 = (𝑎11, 𝑎12, … , 𝑎1𝑛); А2 = (𝑎21, 𝑎22, … , 𝑎2𝑛 ); А3 = (𝑎31, 𝑎32, … , 𝑎3𝑛 ); где 𝑎11 … 𝑎𝑛 входные параметры систем.
Выходные характеристики обозначим : 𝐹А1 ; 𝐹А2 ; 𝐹А3 .
Входную характеристику новой разрабатываемой системы запишем в виде:
𝐴у = (𝑎у1, 𝑎у2, … , 𝑎у𝑛 ).
Выходную неизвестную характеристику новой разрабатываемой системы обозначим: 𝐹Ау .
Запишем систему линейных уравнений:
𝑎11х1 + 𝑎12х2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 х𝑛 = 𝐹А1
𝑎21х1 + 𝑎22х2 + ⋯ + 𝑎2𝑛х𝑛 =𝐹А2
𝑎31х1 + 𝑎32х2 + ⋯ + 𝑎3𝑛х𝑛 = 𝐹А3
𝑎у1х1 + 𝑎у2х2 + ⋯ + 𝑎у𝑛 х𝑛 = ? (𝐹Ау )
Из этой системы линейных уравнений видно, что число неизвестных n больше числа линейных уравнений. Необходимо вычислить выходную характеристику новой разрабатываемой системы - 𝐹Ау и определить х1; х2; … ; х𝑛 . Решить точно данную систему уравнений нельзя – некорректная задача. Для приближенного решения данной задачи применим так называемый оперативный анализ и синтез систем, основанный на теории линейных пространств. Суть методики - оперативного анализа систем в следующем.
Имеются два многомерных пространства: входных и выходных характеристик ранее разработанных систем.
Векторы А1; А2и А3- ранее разработанные системы-аналоги, вектор Ау-новое проектное задание. Соединив концы векторов А1, А2и А3 построим «обучающую гиперплоскость» - S , на которую опустим перпендикуляр - 𝜌, (вектор уклонения) с конца вектора Ау. S = 𝜆1А1+𝜆2А2+𝜆3А3 , где 𝜆1 , 𝜆2, 𝜆3 –оптимальные множители оценивания. Квадрат вектора уклонения равен: 𝜌2=(𝑆 − Ау)2= (𝜆1А1+𝜆2А2+𝜆3А3 −Ау)2→ 𝑚𝑖𝑛. Берем производные по
и приравниваем их к нулю, определяем 𝜆1; 𝜆2; 𝜆3.Выходная характеристика 𝐹Ау ≈ 𝜆1𝐹А1+𝜆2𝐹А2+𝜆3𝐹А3 .
Вектору А1 на пространстве входных характеристик соответствует вектор В1 на пространстве выходных характеристик; вектору А2 соответствует вектор В2 и т.д.; вектору Ау ∗ соответствует вектор Ву.
Соединив концы этих векторов образуем «обучающую гиперплоскость» U. U= 𝜆1В1 + 𝜆2В2 + 𝜆3В3 . Опустив перпендикуляр с конца вектора Ву на ось 𝐹1, получим выходную характеристику 𝐹11 – искомую выходную
характеристику - 𝐹Ау . Помимо этого необходимо определить неизвестные: х1; х2 ; … ; х𝑛 .
Приведем пример решения конкретной задачи определения выходной характеристики – скорости автомобиля ВАЗ – 2105, при известных аналогах автомобилей ВАЗ – 2101; ВАЗ – 2103; ВАЗ – 2106.
Запишем систему уравнений, состоящую из трех уравнений согласно этой таблице.
955х1 + 1198х2 + 64х3 + 89х4 = 140 (𝐹А1 )
965х1 + 1295х2 + 70х3 + 93х4= 143 (𝐹А2 )
1035х1 + 1451х2 + 72х3 + 104х4 = 150 (𝐹А3 )
Запишем искомое четвертое уравнение, в котором неизвестна правая часть уравнения - выходная функция.
1060х1 + 1451х2 + 74х3 + 112х4=? (𝐹Ау )
Необходимо отметить, что 𝐹Ау ≈ 𝜆1 ∙ 𝐹А1+ 𝜆2 ∙ 𝐹А2 + 𝜆3 ∙ 𝐹А3 , где: 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3 - оптимальные множители оценивания, которые необходимо определить.
Необходимо определить правую часть четвертого уравнения (𝐹Ау ) и неизвестные: х1; х2; х3; х4.
Применяем теорию линейных пространств, матричное исчисление, определители Грама и используем все безразмерные параметры, приведенные в таблице.
В матричной форме квадрат вектора уклонения равен:
𝜌2 = [𝜆1,к ⋅ Ак,𝑛 − А1,𝑛] 2 -min ,
в которой 𝜆1,к -матрица оптимальных множителей оценивания, Ак,𝑛- матрица данных, А1,𝑛 -матрица нового проектного задания, к- количество аналогов, n- число неизвестных (в данной задаче – к= 3, n= 4).
Таким образом, погрешность вычисления выходной характеристики – скорости автомобиля ВАЗ- 2105, составила - ±0,85%.
Теперь необходимо определить линейный оператор - 𝛼∗, т.е. неизвестные в основной системе уравнений: 𝛼∗ = ( х1; х2; х3; х4.)
Линейный оператор - 𝛼∗ определяется умножением обобщенной обратной матрицы на матрицу выходных характеристик - F ( 𝐹А1 ; 𝐹А2 ; 𝐹А3) = (140; 143; 150).
𝛼∗= А∗ ∙ 𝐹 = А∗т ∙ F = (0,1487; -0,0171; 0,5991;-0,18824).
Таким образом, получим: х1 ≈ 0,1487; х2 ≈ −0,0171; х3 ≈ 0,5991; х4 ≈ −0,18824. При сравнении параметров приведенных в таблице можно убедиться, что они отличаются друг от друга от 3 до 10 %. При таком сравнении можно утверждать, что и искомая выходная функция (скорость автомобиля) будет отличаться от других автомобилей в этих же пределах. Оперативный анализ позволяет дать более точную оценку и погрешность не превышает 1%.
Список литературы
1.Выскуб В.Г., Целищев В.С. Аналоговое моделирование сложных систем и их технико-экономическая оптимизация на стадии эскизного проектирования. Автотракторное электрооборудование.2003,№ 1-2,С.10-14.
2.Шилов Г.Е., Конечномерные линейные пространства. Наука, Москва, 1969 г.,432с.
3.www.catalog – vaz.php
