05 июня 2017г.
Аннотация. Решена обратная задача теплопроводности по восстановлению поверхностной плотности переменного во времени теплового потока с использованием комбинированного преобразователя. Разработана дифференциально – разностная модель (ДРМ) процесса теплопереноса в исследуемом объекте, которое представляет собой систему обыкновенных уравнений первого порядка относительно вектора состояния. Установлен вид матриц обратных связей, управления и измерения, входящих в ДРМ. Выполнена априорная параметризация и параметрическая идентификация модели теплопереноса. Параметризация предполагает аппроксимацию искомого теплового потока B – сплайнами первого порядка для каждого кусочно – линейного участка. При параметрической идентификации проводится минимизация невязки между модельными и экспериментальными значениями параметров с использованием руккурентного фильтра Калмана. С учетом параметризации и параметрической идентификации восстановлен переменный во времени тепловой поток на границе тела. Приведены результаты восстановления нестационарного теплового потока на основе расширенного фильтра Калмана.
Ключевые слова: неопределенность, тепловой поток, теплопроводность, дифференциально – разностная модель, расширенный фильтр Калмана.
Введение. Для восстановления поверхностной плотности нестационарного теплового потока 𝑞(𝜏) по результатам измерения температуры 𝑡(𝜏) объекта исследования в настоящее время широко используются решения обратных задач теплопроводности (ОЗТ) [1,5,6]. Поскольку ОЗТ является некорректно
поставленной задачей математической физики, то для получения устойчивого решения часто выбирают метод, связанный с составлением дифференциально – разностной модели теплопереноса (ДРМ), параметризацией задачи, параметрической идентификации с использованием реккурентного цифрового фильтра Кальмана (ФК). В литературе [5,6] показано успешное применение ФК для различных ОЗТ.
1 Метод восстановления нестационарного потока с использованием ФК параметрам [4,5]. Для понимания особенностей расширенного ФК кратко остановимся на методе восстановления 𝑞(𝜏) с использованием ФК по параметрам [4]. В основе метода лежит параметризация ОЗТ с последующей параметрической идентификацией дифференциально – разностной модели (ДРМ) теплопереноса в объекте исследования, представляющую собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка относительно вектора температурного состояния
где F и G — матрицы обратных связей и управления; 𝐔(𝜏) – вектор управления. Матрицы обратных связей и управления зависят от температуры и уравнение (1) является нелинейным.
Измерению в объекте подлежат либо температуры в отдельных точках, либо их разности, либо среднеобъёмные температуры, что отражено в матрице измерений H – универсальной модели измерений 𝐘𝑘 = 𝐻𝐓𝑘 + 𝛆𝑘 , где 𝐘𝑘 – вектор измерений, 𝛆𝑘 – вектор случайных погрешностей.
Для определения искомых параметров решается ОЗТ. При этом принимается допущение о том, что известен характер изменения 𝑞(𝜏), который позволяет с требуемой точностью выполнить кусочно – линейную аппроксимацию на всем интервале его изменения 0, 𝜏𝑁:
где 𝜑𝑗 (𝜏) – система базисных функций, 𝑞𝑗 – априори неизвестные коэффициенты, которые объединяются в вектор искомых параметров 𝐐 = |𝑞1 ⋯ 𝑞𝑟 |𝑇 (T – знак транспонирования). В качестве базисной функции используются B – сплайны 1-го порядка [6]. Такую аппроксимацию 𝑞(𝜏) называют параметризацией ОЗТ.
Тогда задача восстановления 𝑞(𝜏) сводится к параметрической идентификации ДРМ теплопереноса в объекте – последовательному получению оптимальных оценок 𝐐 ̂ 𝑧,𝑙 вектора искомых параметров 𝐐𝑧 .
Оптимальные оценки 𝐐 ̂ 𝑧,𝑙 вектора искомых параметров 𝐐𝑧 получаются путём минимизации по 𝐐𝑧 квадратичной функции невязки [1,4]:
где 𝐘 ̂ k(𝐐𝐳) – аналог вектора измерений 𝐘𝑘 , рассчитываемый по ДРМ теплопереноса для различных значений искомых параметров 𝐐𝐳, который называется модельным вектором измерений; R – ковариационная матрица вектора случайных погрешностей 𝛆𝑘 в измерениях температур.
Для получения оптимальных оценок 𝐐𝑘+1 вектора Q в (k+1)-й момент времени используется ФК по искомым параметрам [2,3]:
где 𝑃𝑘 ,𝑃𝑘+1 – ковариационные матрицы ошибок оценок параметров для моментов времени 𝜏𝑘 = 𝑘 ∙ Δ𝜏 и 𝜏𝑘 = (𝑘 + 1)Δ𝜏; 𝐻𝑘 – матрица коэффициентов чувствительности измеряемой температуры к изменению искомых
параметров в момент времени 𝜏𝑘+1; 𝐾𝑘 – весовая матрица.
Достоинством указанного ФК по параметрам является небольшая размерность вектора оцениваемых параметров. Однако, значительный объем вычислений матрицы функций чувствительности 𝐻𝑘+1 на каждом шаге вычислений, а также, необходимость задания начального распределения температуры 𝑇0 в преобразователь теплового потока (ПТП) с высокой точностью снижает возможности его использования.
В связи с этим, в данной работе предложено для получения оптимальных оценок Q на каждом участке сплайн – аппроксимации 𝑞(𝜏) использовать алгоритм расширенного ФК, который позволяет устранить первый недостаток и существенно смягчить требования к заданию 𝑇0.
2 Расширенный фильтр Калмана (РФК). Расширенный фильтр Калмана основан на введении расширенного вектора состояния 𝑅, включающего как температуры, так и тепловые потоки:
где 𝐓 – вектор состояния, входящий в ФК по параметрам [5]; T – знак транспонирования.
Расширенная ДРМ для исходной линейной ДРМ остается линейной и имеет следующий вид:
𝐘(𝜏) = 𝐻𝑅𝐑(τ) + 𝛆(𝜏),
где матрица 𝐻𝑅 измерений расширенной системы.
Как видно из рисунка 1, в корпусе 3 установлена корундовая пластина 2 с пленочным термометром сопротивления на поверхности. Нанесенный платинокерамической пастой рисунок вжигался в пластину, чем
обеспечивалась
высокая
механическая
прочность
и
чувствительность.
При экспериментальных исследованиях измерялась температура поверхности ВПТП 𝑡1(𝜏) при известных граничных условиях на тыльной поверхности пластины.
Предполагалось одномерное
поле температур в ВПТП
и
известные теплофизические характеристики (ТФХ). В опыте восстанавливалась поверхностная плотность теплового потока 𝑞(𝜏). На рисунке 2 показаны результаты одного из модельных опытов.
Нами были восстановлены тепловые потоки с помощью ВПТП в различных технологических процессах, а именно: при сжигании низкосортного топлива, обжиге и сушке дисперсного материала в печах, использующих технику псевдоожижения; восстановлены тепловые потоки в аэродинамических ударных трубах и т.д., т.е. в тех условиях, при которых ТФХ материалов зависели от температуры [3].
Заключение. Для восстановления нестационарного теплового потока с помощью ПТП, в котором ТФХ зависят от температуры предложен метод, базирующийся
на применении
расширенного фильтра Калмана. Приведена структура матриц обратных связей, управления и измерения, позволяющие использовать дифференциально – разностные модели теплопереноса в объектах исследования и устанавливать условия теплообмена на границе исследуемых тел. Приведены результаты экспериментальных исследований, которые подтвердили целесообразность использования расширенного фильтра Калмана.
Список литературы
1.
Пилипенко Н. В., Кириллов К. В. Алгоритмы программ для решения прямых и обратных задач теплопроводности при использовании
дифференциально – разностных моделей
// Научно- Технический вестник Университета ИТМО. 2010. Выпуск 5(69). С. 106÷109.
2.
Пилипенко Н. В. Методы параметрической идентификации в нестационарной теплометрии. Ч. 2 // Изв. вузов. Приборостроение, 2003. № 10. Т.46. С. 67–71.
3.
Пилипенко Н.В. Методы и
приборы для измерения тепловых величин в
энергоемких технологических процессах. Учебное пособие – СПб: Университет ИТМО, 2017. – 65 с.
4.
Kalman R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction // Transaction ASME Journal of Basic Engineering – 1960 – N 86 – pp. 35–45.
5.
Pilipenko N. Parametrical Identification of
Differential-difference Heat Transfer Models in Non-stationary Thermal Measurements // Heat Transfer Research, 2008. Vol. 39. №. 4. pp. 311–315.
6.
Pilipenko N.V. The systematic errors in determining the non-stationary heat – exchange conditions with parametric
identification // Measurement Techniques. 2007. V. 50. N 8. P. 880 – 887.
