03 марта 2016г.
Значение полученных критериев заключается в том, что они позволяют определить характер устойчивости, асимптотической устойчивости либо неустойчивости систем ОДУ данного класса без представления решения в аналитической форме, непосредственно по значениям разностных приближений. Мультипликативная форма выражений под знаком предела в левой части предоставляет возможность запрограммировать вычисление этих выражений в виде цикла по числу сомножителей. Необходимо отметить важную особенность предложенных критериев. Для их применения достаточно подать на вход стандартной процедуры, подсчитывающей в виде цикла, значения правой части системы ОДУ в некоторой начальной точке. После этого никаких аналитических преобразований правой части не требуется, равно как не требуется ввод дополнительных данных по ходу работы программы или же ее прерывание. Отсюда следует, что для анализа устойчивости системы, модель которой описывается системой ОДУ рассматриваемого вида, можно использовать стандартный блок в виде процедуры, программно реализующей представленные критерии. Поскольку для этого не требуется ввод дополнительных данных, компьютерный анализ устойчивости допускает выполнение в режиме реального времени.
Необходимые приближения решений в (3), (5) можно получить на основе разностных методов различного порядка, а также с использованием метода кусочно-полиномиального приближения решений систем ОДУ. Подробное описание схемы построения кусочно-полиномиальных приближений, а также доказательство сходимости к решению и оценки скорости сходимости представлены в [3], непосредственно ниже дается краткое описание схемы. Метод позволяет получить непрерывные и непрерывно-дифференцируемые приближения искомых решений на всем промежутке интегрирования. При моделировании на основе жестких и нежестких систем ОДУ применение метода позволяет получать приближение решений нежестких систем с точностью порядка 10-19 , жесткие системы решаются с понижением погрешности по сравнению со специализированными методами [4]. Программная реализация метода и численный эксперимент представлены в [4].
Для приближенного решения задачи Коши для ОДУ первого порядка
на произвольно фиксированном отрезке [
a ,
b] Ì R2 данный отрезок делится на интервалы равной
длины, каждый из которых разбивается на 2 k подынтервалов также равной длины. На каждом подынтервале строится интерполяционный полином
Ньютона для аппроксимации функции
правой части. В качестве
значений зависимой переменной при вычислении значений
функции в узлах интерполяции используются разностные приближения решения. Выполняются преобразования, основанные на алгоритме
получения коэффициентов полинома по известным значениям корней,
отличном от
формул
Виета.
В
результате данных преобразований интерполяционный полином на подынтервале принимает вид
На текущем подынтервале определяется табличная первообразная от построенного полинома 
которая при соответствующей подынтервалу подстановке значения константы принимается за первоначальное приближение искомого решения на рассматриваемом подынтервале. Далее
полученный полином используется при вычислении значений
в узлах интерполяции для повторного построения полинома Ньютона, аппроксимирующего правую часть (6). Такие итерации повторяются фиксированное число раз. Степень интерполяционного полинома и число подынтервалов программно варьируются. Программная вариация
этих параметров обеспечивает наименьшую погрешность приближенного решения.
Компьютерный анализ устойчивости
системы (1) выполняется на основе критерия
(3). Результаты анализа устойчивости при начальных
условиях u0 = 1, i0 = 4 и значении параметра G = 4 представлены в Табл.1. В столбце norma 1 представлены значения
нормы, вычисленные на основе метода
Рунге-Кутта 4-го порядка,
в столбце norma 2 – на основе кусочно-полиномиального метода.
Таблица 1
Значения нормы по критерию (3)
для ненулевого решения
системы (1) при u0 = 1, i0 = 4
,
G = 4
|
t
|
norma 1
|
norma 2
|
|
10
|
1.19809181195747
|
1.19809181195671
|
|
20
|
1.29782313865814
|
1.29782313874997
|
|
30
|
1.38260131407007
|
1.38260131407718
|
|
40
|
1.45708602330176
|
1.45708602340333
|
|
50
|
1.52406313586707
|
1.52406313586269
|
|
60
|
1.58531613906153
|
1.58531613916368
|
|
70
|
1.64205052841963
|
1.64205052841811
|
|
80
|
1.69511765107952
|
1.69511765119003
|
|
90
|
1.74514075576015
|
1.74514075577179
|
|
100
|
1.79258994287041
|
1.79258994298294
|
Значения нормы в обоих столбцах
ограничены
константой,
что
в
соответствии
с
критерием
(3) свидетельствует о не асимптотической устойчивости. Представленные оценки устойчивости получены для начального возмущения d = 0.00001. Изменения величины возмущения
начальных
данных
не влияет на полученную оценку характера
устойчивости решений
исследуемой системы.
На Рисунке 1 представлены графики численного решения первого и второго уравнения системы
(1) при u0 = 1, i0 = 4 , G = 4 , которые
отражают ожидаемый характер колебаний [1].
Результаты анализа устойчивости при начальных условиях G = 0,05 представлены в Табл.2.
u0 = 1, i0 = 0,05 и значении
параметра
Таблица 2
Значения нормы по критерию (3) для ненулевого решения системы (1) при u0 = 1, i0 = 0,05 ,
G = 0,05
|
t
|
norma 1
|
norma 2
|
|
10
|
1.53361697796280
|
1.53361697796487
|
|
20
|
1.40891909728972
|
1.40891909729261
|
|
30
|
1.63041574342092
|
1.63041574342232
|
|
40
|
1.66526615337882
|
1.66526615337839
|
|
50
|
1.55936454500774
|
1.55936454501102
|
|
60
|
1.78079495627693
|
1.78079495627538
|
|
70
|
1.29599629115621
|
1.29599629115473
|
|
80
|
1.83851880302923
|
1.83851880302781
|
|
90
|
1.73563961741051
|
1.73563961740814
|
|
100
|
1.64305542986208
|
1.64305542985885
|
Как и в предыдущем случае значения
нормы ограничены, что соответствует устойчивости.
Графики приближенного решения первого
и
второго
уравнения системы (1) при u0 = 1, i0 = 0,05 , G = 0,05 представлены на Рисунке 2 и соответствуют колебаниям близким
к гармоническим.
Представлен метод компьютерного анализа устойчивости систем ОДУ на основе
преобразования разностных схем и кусочно-полиномиальных приближений решения. Метод по построению отличается от методов качественной теории дифференциальных уравнений и методов, основанных на символьной
обработке, при этом дает возможность выполнять анализ устойчивости по разностному приближению решения.
Метод распространяется на системы
с матрицей постоянных коэффициентов; в этом случае его применение не связано с построением характеристического многочлена и с оценками значений
характеристических чисел.
В ходе исследования модели электрического равновесия автогенератора с внутренней обратной
связью теоретические выводы [1] подтверждены результатами численного эксперимента, полученными на основе компьютерного моделирования критериев. Применение кусочно-полиномиального метода позволило
повысить достоверность вычисления значения нормы по представленным критериям вследствие высокой точности приближенного решения.
Список литературы
1. А.М. Пилипенко, В.Н. Бирюков
Исследование эффективности современных численных методов при анализе автоколебательных цепей // «Журнал
Радиоэлектроники» №9, 2013.
2. Я.Е. Ромм, С.Г.
Буланов Компьютерный анализ устойчивости по Ляпунову
систем линейных дифференциальных уравнений. – Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та имени А.П. Чехова,
2012. – 148 с.
3. Я.Е. Ромм, Г.А. Джанунц
Компьютерный метод варьируемой кусочно-полиномиальной аппроксимации функций и решений
обыкновенных дифференциальных уравнений
// Кибернетика и системный анализ, Киев, 2013, № 3. – С. 95 – 112.
4. Я.Е. Ромм, Г.А. Джанунц Г.А. Кусочно-полиномиальные приближения функций
и решений дифференциальных уравнений в применении к моделям периодических реакций / Монография. – Изд-во ТГПИ имени А.П. Чехова. – Таганрог, 2013. – 240 с.
