09 марта 2016г.
В работе рассматривается итерационный метод последовательного восстановления полей давления и геопотенциала в узлах регулярной сеточной области полусферы Земли. Решение задачи в такой постановке обусловлено отсутствием аэрологических наблюдений над водной частью Земли и небольшим их количеством на приземных картах. Предложенный метод согласованного восстановления полей на пересекающихся составляющих областей полусферы Земли позволяет выполнять практическую реализацию восстановления в оперативное время и с достаточно хорошей точностью. Метод реализован в рамках программного комплекса ГИС«О кеан» обеспечения безопасности полетов и мореплавания [3, 4].
Задача восстановления–интерполяции геофизических полей в узлы регулярной сеточной области по значениям поля в некотором случайном множестве его точек является одной из важнейших задач обработки фактических наблюдений. Именно восстановленные поля являются исходным материалом для проведения каких– либо вычислений. Сложность и качество восстановления данных существенно зависит от размерности решаемой задачи и исходного распределения по области фактических наблюдений. Об этом свидетельствует распространение значительного числа различных методов интерполяции [1]. В данной работе предлагается численный метод восстановления двумерных полей давления и геопотенциала на полусфере Земли.
Непосредственное использование каких–либо стандартных методов интерполяции в рассматриваемой постановке не представляется возможным. Это обусловлено размерами восстанавливаемого поля и существенной неоднородностью распределения фактических наблюдений по полусфере Земли. Аэрологические наблюдения располагаются на материковой части. Распределение приземных наблюдений дополняется синоптическими и судовыми сводками, что позволяет с большей точностью восстанавливать поле на регулярную сетку. Восстанавливаемое интерполяционное поле представляется полиномиальной функцией двух переменных
где aij —
коэффициенты, подлежащие определению; fi (x), j j (y) —
интерполяционные многочлены. В качестве fi (x), j j (y) выбираются полиномы Чебышева
1 рода, ортогональные на отрезке [–1, 1]. Выбор обусловлен следующими факторами. Во–первых, данный класс многочленов дает погрешность, равномерно распределенную по всему полю.
Во–вторых, составляющие aijfi (x)j j (y) аппроксимирующей функции F(x, y) находят физическую интерпретацию в качестве
локальных составляющих циркуляционных систем поля давления и геопотенциала [2, 6]. Значения коэффициентов aij определяются по фактическим наблюдениям fk методом наименьших квадратов. Практическое использование интерполирующей функции F(x, y) в виде (1) уже допустимо
для
составляющих ее полиномов fi (x), j j (y) степени 6, 7 и выше. Указанные
степени полиномов fi (x), j j (y) дают представления основных локальных
циркуляционных
систем
реальных физических полей давления и геопотенциала. Данные поля
на полусфере Земли могут
включать
ряд взаимозависимых и независимых локальных циркуляционных систем.
Включение в F(x, y) составляющих fi (x), j j (y) больших степеней, как правило,
приводит к резким изменениям восстанавливаемого поля в той его
части, где фактические наблюдения отсутствуют. Для увеличения точности расчетов предлагается восстановление на полусфере Земли проводить последовательно (итерационно) на перекрывающихся областях меньшего размера. Перекрытие областей
обеспечивает их согласованное восстановление на полусфере. Предлагаемое
разбиение полусферы
Земли на районы A, B, C, D, N показано на Рисунке 1. Выбор геометрии разбиения полусферы
увязан с точками наблюдений фактических данных
на границах указанных
областей.
Фактические значения
fi на границе
области
восстановления
позволяют
уравновесить интерполяционные значения внутри области и избежать
неприятных
эффектов
при
вычислении
их на
границе.
В качестве установочного шага предлагаемой
Схема последовательного
восстановления интерполяционного поля на полусфере Земли представлена на Рисунке 3. Начальный
шаг схемы, предваряющий итерационный цикл, направлен
на вычисление значений поля на верхней границе
районов A, B, C, D. Для этого выполняется интерполяция поля в области
N по регрессионной модели (1), что вполне оправдано
при равномерном распределении фактических наблюдений в пределах указанного района. Основной
итерационный цикл (Рисунок
3) осуществляет расчет интерполяционного поля на полусферу Земли по районам
A, B, C, D. Каждая итерация цикла уточняет восстанавливаемое поле на пересекающихся областях,
обеспечивая их согласование. На первом шаге цикла восстановление идет на двух половинах полусферы
D+A и B+С. Границы указанных двух районов
располагаются на материковой части поверхности Земли,
где фактических данных вполне достаточно. На втором шаге восстановление охватывает
районы А+B и C+D полусферы. Границы данных районов располагаются на водной
части поверхности Земли. Недостающие граничные
значения восполняются величинами, найденными на первом шаге. Итерационный цикл для рассмотренных районов повторяется многократно
и ведет к установившемуся распределению интерполяционного поля в узлах сеточной
области.
Найденный многочлен
z(x) позволяет составить искомое преобразование
сглаживающей
аппроксимации, которое минимизирует
среднеквадратическую
ошибку
в
каждом
узле поля yk
по пяти его значениям в равноотстоящих узлах
[5].
На
схеме
восстановления
(Рисунок 3) данное преобразование
z(x) условно обозначается как zk = Ayk . Оценка
качества восстановления
показала,
что данный поход в полной мере применим при восстановлении приземных
полей и дает хорошее распределение для аэрологических наблюдений. В качестве
примера, на рис. 4 представлен фрагмент
оперативной карты с нанесенными изолиниями
восстановленного поля геопотенциала на уровне 500 мб.
Список литературы
1.
Веселов В.В.,
Гонтов
Д.П.,
Пустыльников Л.М. Вариационный
подход
к
задачам
интерполяции физических
полей.— М.: Наука,
1983.– 120 с.
2.
Гилл А. Динамика
атмосферы и океана.—
М.: Мир, 1986. Т.1.–398 с.
3.
Иванов Б.Н. Решение
задачи
расчета
оптимальных
маршрутов
судов
в
рамках
геоинформационной системы "ОКЕАН" // Вычислительные методы
и программирование. 2012. 13, №1. 150-158.
4.
Иванов Б.Н.
Геометрический подход к
решению
задачи построения траекторий перемещения циклонических образований // Вычислительные методы и программирование. 2014. 15, №1. 370-382.
5.
Корн Г. и Корн Т. Справочник по математике. — М.: Наука, 1978.–832
с.
6.
Петерсен С. Анализ и прогноз погоды.
— Л.: Гидрометеорологическое издательство, 1961.–768 с.
7. Яглом А.М. Корреляционная
теория стационарных случайных
функций. — Л.: Гидрометеоиздат, 1981.–280
с.
