12 марта 2016г.
Аннотация. Реализован метод Коуэлла для решения уравнений движения небесных тел, основанных на новом принципе взаимодействия. Построена математическая модель движения небесных тел на основе создания высокоэффективных алгоритмов и программ численного интегрирования дифференциальных уравнений методом Коуэлла. Разработаны алгоритм и программное обеспечение с использованием банка данных координат планет в форме полиномов Эверхарта для исследования эволюции орбит небесных тел на основе метода Коуэлла. Проведено исследование сходимости и устойчивости решений системы дифференциальных уравнений методом Коуэлла для астероидов, представляющих потенциальную грозу для Земли.
Ключевые слова: метод Коуэлла, дифференциальные уравнения движения, эволюция орбит, астероид, элементы орбит.
Исследование эволюции орбит небесных тел Солнечной системы является одним из основных этапов решения проблемы, связанной с астероидной опасностью. Вследствие того, что движение малых тел Солнечной системы описывается математической моделью в форме систем дифференциальных уравнений, разработка методов численного интегрирования уравнений движения является актуальной задачей в настоящее время.
В данной работе была разработана математическая модель движения небесных тел на основе создания высокоэффективных алгоритмов и программ численного интегрирования дифференциальных уравнений методом Коуэлла с учетом шестых разностей [2].
В качестве дифференциальных уравнений движения в задаче n тел в работе были впервые использованы дифференциальные уравнения движения, основанные на новом принципе взаимодействия, которые в векторной форме имеют вид [1]:
Уравнение получено
в предположении, что причиной проявления гравитации являются неотъемлемые свойства окружающего пространства, а не наличие массы сосредоточенной в теле. Подобные объяснения причины гравитации были высказаны
Б. Риманом [4], а в последствие Пуанкаре
[3].
Особенность данных дифференциальных уравнений
заключается в том, что они значительно проще дифференциальных уравнений движения,
учитывающих релятивистские эффекты. С помощью данных уравнений, удается
объяснить невязки в движении линии апсид планетных
орбит.
Метод Коуэлла – это специализированный многошаговый метод для решения
задач небесной механики.
Основная идея метода Коуэлла состоит
в том, чтобы перейти прямо
от второй производной r к
искомой функции r по одной формуле
двойного интегрирования, используя при этом интерполяционную
формулу Стирлинга. Таким образом,
можно избежать двух последовательных интегрирований — одного для нахождения r , а другого для нахождения r .
Соотношения (1), (2) с учетом выражений (3), (4) представляют собой метод квадратур, соответствующий методу Коуэлла.
В работе
разработаны алгоритм и программное обеспечение с использованием банка данных
координат планет в форме полиномов Эверхарта для исследования эволюции
орбит небесных тел на основе многошагового метода Коуэлла. Созданная программа позволила
более чем в 2 раза сократить
расчетное время решения по сравнению с одношаговым методом
Эверхарта.
Для проверки предложенной математической модели исследования эволюции
орбит небесных тел были выбраны 4 астероида
групп Аполлона и Атона, сближающихся с Землей, и размеры которых
превышали 50 метров.
Начальные данные для каждого
астероида брались
на ряд различных моментов
оскуляции, приведенных на сайте DASTCOM (Database of ASTeroids and COMets), и результаты численного интегрирования сравнивались между собой, а так же было произведено сравнение
полученных результатов при различных шагах интегрирования.
Астероид (99942) Апофис принадлежит к группе Атона, получивший предварительное обозначение 2004 MN4. 13 апреля 2029 г. произойдет сближение с Землей,
которое является
наиболее тесным из предсказанных сближений заранее.
В результате сближения он перейдет из группы астероидов Атона в группу Аполлона. Приблизительный диаметр
составляет около 380 м.
Астероид 2005 WY55 принадлежит группе Аполлона,
приблизительный его диаметр составляет около 190 метров. Двадцать восьмого
мая 2065 г. произойдет самое тесное его сближение
с Землей на расстоянии около 332 626 км.
Астероид 2001 WN5 принадлежит группе Аполлона, приблизительный его диаметр составляет около 580 метров. В 2028 г. сблизится
с Землей на расстоянии 249800 км.
Астероид 2005 YR3 принадлежит группе
Атона, приблизительный диаметр его составляет 50 метров. Имеет два умеренных сближения
с Венерой в 2012 г. и 2089 г. на расстоянии 256 234 км. и 535 040 км. соответственно.
Было проведено исследование сходимости
и устойчивости решений системы дифференциальных уравнений методом
Коуэлла на интервале времени
с 18 апреля 2013 г. по 16 ноября
2045 г. для астероидов, представляющих потенциальную угрозу для Земли.
Для оценки достоверности результатов предложенной модели полученные элементы
орбит методом Коуэлла были сопоставлены с данными,
полученными методом Эверхарта 27 порядка.
Начальные данные для каждого астероида брались на
эпоху
08.01.2013,
шаг
интегрирования
1
день,
результаты вычислений сопоставлялись на дату 8 января
2023 г. Результаты расхождений в элементах орбит представлены в Табл.1.
Таблица 1 Расхождения в элементах орбит численного интегрирования уравнений движения астероидов на момент времени 08.01.2023
В ходе работы
было доказано, что элементы орбит астероидов групп Аполлона
и Атона, полученные методом Коуэлла,
согласуются с результатами других исследований, приведенных на сайтах DASTCOM (Database of ASTeroids and COMets) и SmallBodies.ru .
Предложенный метод исследования эволюции
орбит может быть применен не только
для астероидов групп Аполлона, Амура и Атона,
но также и других небесных
объектов, например комет и планет.
Список литературы
1. Заусаев А.Ф. Математическое моделирование
орбитальной эволюции малых тел Солнечной системы/
А.Ф. Заусаев, А.А. Заусаев. – М.: Машиностроение, 2008. – 250 с.
2. Куликов Д.К. Интегрирование уравнений
движения небесной механики
на электронных вычислительных машинах по квадратурному методу Коуэлла с автоматическим выбором шага// Бюлл. ИТА, 1960. – Т. 7, № 10. – С. 770-797.
3. Пуанкаре А. О науке / О. Пуанкаре. – М.: Наука, 1983.
– 560 с.
4.
Риман Б. Сочинения/ Б. Риман. – М., Л.: Технико-Теоретической литературы, 1948. – 544 с.
