О ДОВЕРИТЕЛЬНОМ ИНТЕРВАЛЕ ДОЛИ

“Потому что на 10 девчонок по статистике 9 ребят”, – утверждал Ким Рыжов, объясняя, почему девчонки “стоят в сторонке”. Но была ли клубная выборка репрезентативна или девчонки могли стоять в сторонке по другим, случайным причинам или по некоторому стечению обстоятельств? В данном сообщении дается ответ на этот весьма серьезный вопрос.

Ключевые слова: значимость различий, доверительный интервал доли, объем выборки, демография, медицинская статистика.

Доля девушек среди населения (демографическая доля) % больше, чем доля юношей % на 5,2632 %. Однако из теории выборочного метода [3] известно, что доля признака, рассчитанная по малой выборке, имеет широкий доверительный интервал (ДИ). Это может нивелировать различия между величинами.

Интервальная оценка предпочтительнее точечной оценки при исследовании выборочных данных. При описании частот и долей вычисление доверительных интервалов обязательно [1]. Доверительный интервал представляет собой меру точности оцениваемого параметра. В биологии и медицине, как правило, вычисляется “снисходительный” 95% доверительный интервал. В пределах этого интервала в 95 случаев из 100 будет находиться истинное значение частоты встречаемости признака. И только в 5 случаях из 100, допускается, что 95% доверительный интервал не накроет оцениваемый параметр.

В результате различия, наблюдаемые в генеральной совокупности, могут стать статистически незначимы в выборках, извлеченных из этой совокупности за счет перекрытия доверительных интервалов выборочных долей. В нашем случае это может означать, что установленные среди больших групп населения различия в долях девушек и юношей могут стать статистически не достоверны в “масштабах” клуба вследствие значительной ширины доверительных интервалов долей. Иными словами, тот факт, что “девчонки стоят в сторонке” может являться чистой случайностью или может быть вызван стечением обстоятельств, а не закономерным следствием того, что девушек больше в популяции, как полагал поэт.

Чем меньше численность выборки, тем шире ДИ и больше ошибка выборки, равная, как известно, длине половины ДИ. У малых выборок весьма большие “шансы” быть нерепрезентативными. Выборочное исследование, таким образом, порождает проблему репрезентативности, которая заключается в том, с какой достоверностью можно переносить результаты наблюдения отдельных выборок, отобранных из генеральной совокупности на саму совокупность и, наоборот.

В данной статье зададимся вопросом, какая должна быть по размерам выборка, чтобы быть репрезентативной по выделенному нами половому признаку. Тогда можно было бы свободно судить о женском демографическом перевесе не только в общей молодежной популяции, но и в выборках на данном уровне значимости.

Под объемом выборки N будем понимать общее число всех пришедших на танцы в клуб. Среди них есть, конечно, и девушки, и юноши. Не изменяя доли девушек n=52,6316 %, вычислим “снисходительные” 95% доверительные интервалы этой доли при различных объемах выборок: 19 и выше. Воспользуемся методом Вальда [5] и каким-либо онлайн-калькулятором, например http://forum.disser.ru/index.php?act=attach&type=post&id=149. Если объем выборки достаточно велик, то ДИ для доли можно вычислять, используя нормальное распределение. Вместе с тем оно не является единственным применяемым распределением при расчете ДИ доли [4]. Наиболее точные результаты дает биномиальное распределение, но вычислительные процедуры оказываются при этом несколько сложнее, чем в случае использования нормального распределения случайной величины. Результаты расчетов сведены в Табл.1 и представлены на Рисунке 1.

Таблица 1

ДИ доли девушек mв зависимости от объема выборки (большой шаг)

Уменьшим величину шага объема выборки в районе нижней границы доверительного интервала доли девушек, равной 50 % (Табл.2).

Таблица 2

ДИ доли девушек mв зависимости от объема выборки (малый шаг)

Проанализируем данные таблиц. Из Табл.2 следует, что если девушек больше, чем юношей на 5,2632 %, то при объеме выборки N=1383 и более этот факт с вероятностью 95 % не случаен.

При полуширина 95 % ДИ становится меньше 2,6316 %.В результате нижняя граница 95 % ДИ доли девушек поднимается выше 50 %. В абсолютном измерении нижняя граница 95 % ДИ девушек при этом будет больше 692, а верхняя граница 95 % ДИ юношей ниже1383-692=691. То есть доверительные интервалы не будут пересекаться за счет уменьшения их ширины вследствие роста численности выборки. Ожидаемое число девушек в клубе при этом Nxm=1383x0,526316=727, юношей, соответственно,1383-727=656.

Рис.1. Доля девушек m в зависимости от объема выборки и ДИ этой доли. Длина планок на рисунке соответствует ширине 95 % ДИ доли девушек. При росте объема выборки ширина 95 % ДИ уменьшается до нуля. Также видно, что уровень 50 % для нижней границы ДИ приходится на объем 1000-1500 выборки.

Из Рисунка 1 следует, что, действительно, значение 50 % нижней доверительной границы доли девушек приходится на объем выборки примерно от 1000 до 1500 пришедших на танцы, что косвенно подтверждает данные Табл.2.

Таким образом, безукоризненной, с точки зрения статистики, была бы фраза: “Стоят девчонки, стоят в сторонке, потому что на 727 девчонок в клубе 656 ребят”. Или “Стоят девчонки, стоят в сторонке, потому что на 10 девчонок по статистике 9 ребят, при этом в клубе 1383 посетителя” и т. д. “Выиграла” бы статистика, но песня бы “проиграла”!

Итак, мы обсудили вопрос, в выборках какого объема, имея определенную генеральную пропорцию, можно утверждать, что доля с одним значением признака достоверно больше доли с другим, альтернативным значением– на “снисходительном” уровне значимости. Другими словами, какие выводы можно сделать, основываясь на изучении одной пропорции?

В общем виде задача могла бы ставиться так. Даны доли бинарного признака в генеральной совокупности, одна больше другой. Найти объем выборки, начиная с которого можно достоверно утверждать, что эта доля остается больше и в выборочном исследовании на заданном уровне значимости.

В результате при исследовании степени вариации “демографического” соотношения девушек и юношей в выборках различного объема можно также отметить следующее.

1.     Если в клубе число пришедших на танцы равно 19, то с вероятностью 95 % можно утверждать, что число девушек, пришедших на танцы, может равняться равновероятно любому целому числом от 6 до 14 , то есть быть необязательно больше числа юношей. В этом случае с равной достоверностью возможны следующие комбинации числа девушек и юношей: (6, 13), (7, 12), (8, 11), (9, 10), (10, 9), (11, 8), (12, 7), (13, 6), (14, 5), которые совсем не демонстрируют наличие острого мужского демографического дефицита.

2.     Если в клубе будет менее чем 1383 посетителей, нет веских оснований утверждать(при данной демографической доле), что девушек в клубе должно быть больше. Если на самом деле их оказалось больше, то это могло произойти по случайным причинам (может быть обусловлено стечением каких-то обстоятельств).

3.     Минимальный объем выборки, репрезентативной и по средним уровням характеристик, и по степени вариативности, равен 1383 посетителей. Только, начиная с этого объема выборки, с вероятностью 95 % есть основания утверждать, что девушек больше на танцах, чем юношей неслучайно, а в соответствии с общей генеральной долей – свойствами генеральной совокупности.

Вместо схемы “девушки-юноши” можно рассматривать, конечно, любую другую пару противоположных состояний, например пациенты “обследованные-необследованные”, “здоровые-больные”, “вылеченные-невылеченные”, “неинфицированные-инфицированные”, “живые-умершие”, “с доброкачественными-злокачественными” опухолями и т.д. Тогда N следует расценивать как общее количество больных, подвергнутых лечению;M из них, например, получали лекарственный препарат А,  принимали препарат B. Таким образом, выполненный анализ находит свои приложения и для чисто медицинских задач [2].

Список литературы

1.     Гржибовский А.М. Доверительные интервалы для частот и долей / Экология человека. – 2008. – № 5. – С. 57-60.

2.     Медик В.А., Токмачев М.С. Математическая статистика в медицине: учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2007. – 800 с.

3.     Шварц Г. Выборочный метод. Руководство по применению статистических методов оценивания / Пер. с нем. – М.: Статистика, 1978. – 214 с.

4.     Pires A.M., Amado C. Interval estimators for a binomial proportion: Comparison of twenty methods // REVSTAT – Statistical Journal, June 2008, vol. 6, no. 2, pp. 165-197.